Fourier und Zeit-Frequenzanalyse: MATLAB basierte Lehre und Anwendungen

In diesem Vortrag sollen Aspekte eines neuen Ansatzes zur Lehre der Fourier Analysis, die beiden Communities helfen soll, die jeweiligen Mängel zu beheben. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass die digitale Signalanalysis für periodische und diskrete Signale (bzw. entsprechender zyklischer Systeme) als Teil der Linearen Algebra leicht mit Hilfe von MATLAB^® realisiert und experimentell erforscht werden können. Die Struktur der Gruppe der N-ten Einheitswurzeln in der komplexen Ebene, vom Standpunkt der Harmonischen Analyse aus entwickelt, erlaubt die Entwicklung der grundlegenden Konzepte (Faltung, Fourier Transformation, Impuls-Antwort, Transfer Funktion, Poisson Formel, Shannon Sampling Theorem, etc.). Es muss auch erläutert werden, wie naive aber leider naheliegende Fehler vermieden werden können.

Geht man dann nicht zu kontinuierlichen, aperiodischen Funktionen über, sondern studiert stattdessen das Spektrogramm (sliding window Fourier transform), etwas von Audio Signalen (oder auch digitalen Bildern), kann man die Grundprinzipien der Zeit-Frequenz Analysis illustrieren. Für eine Funktion der Zeit (bzw. des Ortes) hat man auf diese Weise eine intuitiv stark ansprechende Energie-Verteilung im Phasenraum, vergleichbar mit einer (verwaschenen) Notenschrift. Will man die dabei auftretende Redundanz reduzieren, so geht man zu einer gitterförmigen Abtastung des Spektrogramms über. Die entsprechende math. Theorie ist unter dem Namen Gabor Analysis bekannt. Sie liefert auch atomare Darstellungen von Signalen, als Superposition von TF-verschobenen Versehen eines Atoms (etwa eine Gauss Glockenkurve), vergleichbar einem einfachen Synthesizer.

Durch das Studium der Gabor Analysis ergab sich die Entwicklung einer neuen Distributionentheorie, die auf einem Banachraum von stetigen, und Riemann-integrierbaren Funktionenraum S_0(R^d) beruht, der Fourier invariant ist. Wir werden nur andeuten können, in welcher Weise dieser Raum zusammen mit seinem Dualraum (wir nennen ihn den Raum der „sanften Distributionen“) geeignet ist, die wesentlichen Fragen der digitalen Signalanalysis mathematisch sauber und für Anwender verständlich zu entwickeln. Jedenfalls ist die Behandlung des Dirac Masses oder auch von Dirac Kämmen in dieser Theorie kein Problem.

Im Vortrag werden wir uns hauptsächlich darauf konzentrieren, ein paar Konzepte anhand von MATLAB Routinen zu illustrieren.