直流电机控制

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此示例比较用于跟踪设定点命令和降低对负载扰动的灵敏度的三种直流电机控制方法：

前馈命令
积分反馈控制
LQR 调节

请参阅“快速入门：构建模型”了解有关直流电机模型的更多详细信息。

问题陈述

在电枢控制的直流电机中，施加的电压 Va 控制轴的角速度 w。

此示例展示了两种直流电机控制方法，用于降低 w 对负载变化（电机负载所抵抗的转矩变化）的灵敏度。

上图显示的是直流电机的一个简化模型。转矩 Td 对负载扰动进行建模。您必须尽量减少这种扰动引起的转速变化。

对于此示例，物理常量为：

R = 2.0;                % Ohms
L = 0.5;                % Henrys
Km = 0.1;               % torque constant
Kb = 0.1;               % back emf constant
Kf = 0.2;               % Nms
J = 0.02;               % kg.m^2/s^2

首先构造具有两个输入（Va、Td）和一个输出 (w) 的直流电机的状态空间模型：

h1 = tf(Km,[L R]);            % armature
h2 = tf(1,[J Kf]);            % eqn of motion

dcm = ss(h2) * [h1 , 1];      % w = h2 * (h1*Va + Td)
dcm = feedback(dcm,Kb,1,1);   % close back emf loop

注意：使用状态空间形式进行计算以最小化模型阶数。

现在绘制角速度对电压 Va 阶跃变化的响应：

stepplot(dcm(1));

右键点击绘图并选择“特征: 稳定时间”以显示稳定时间。

前馈直流电机控制设计

您可以使用这一简单的前馈控制结构来命令角速度 w 达到给定值 w_ref。

前馈增益 Kff 应设置为从 Va 到 w 的 DC 增益的倒数。

Kff = 1/dcgain(dcm(1))

Kff =

    4.1000

为了评估在负载扰动情况下的前馈设计，仿真在 t=5 至 t=10 秒之间存在扰动 Td = -0.1Nm 时对阶跃命令 w_ref=1 的响应：

t = 0:0.1:15;
Td = -0.1 * (t>5 & t<10);       % load disturbance
u = [ones(size(t)) ; Td];       % w_ref=1 and Td

cl_ff = dcm * diag([Kff,1]);    % add feedforward gain
cl_ff.InputName = {'w_ref','Td'};
cl_ff.OutputName = 'w';

h = lsimplot(cl_ff,u,t);
title('Setpoint tracking and disturbance rejection')
legend('cl\_ff')

% Annotate plot
line([5,5],[.2,.3]);
line([10,10],[.2,.3]);
text(7.5,.25,{'disturbance','T_d = -0.1Nm'},...
            'vertic','middle','horiz','center','color','r');

ans = 

  Legend (cl\\_ff) with properties:

         String: {'cl\\_ff'}
       Location: 'northeast'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 9
       Position: [0.7544 0.8186 0.1315 0.0572]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

显然，前馈控制处理负载扰动效果不佳。

反馈直流电机控制设计

接下来尝试下面所示的反馈控制结构。

为了强制应用零稳态误差，使用以下形式的积分控制

     C(s) = K/s

     where K is to be determined.

要确定增益 K，可以使用根轨迹方法，将其应用于开环传递函数 1/s * transfer(Va->w)：

h = rlocusplot(tf(1,[1 0]) * dcm(1));
setoptions(h,'FreqUnits','rad/s');
xlim([-15 5]);
ylim([-15 15]);

点击曲线以读取增益值和相关信息。此处合理的选择是 K = 5。控制系统设计器是用于执行此类设计的交互式 UI。

在相同测试用例的基础上，将此新设计与初始前馈设计进行比较：

K = 5;
C = tf(K,[1 0]);            % compensator K/s

cl_rloc = feedback(dcm * append(C,1),1,1,1);
h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,u,t);
cl_rloc.InputName = {'w_ref','Td'};
cl_rloc.OutputName = 'w';
title('Setpoint tracking and disturbance rejection')
legend('feedforward','feedback w/ rlocus','Location','NorthWest')

ans = 

  Legend (feedforward, feedback w/ rlocus) with properties:

         String: {'feedforward'  'feedback w/ rlocus'}
       Location: 'northwest'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 9
       Position: [0.1491 0.7968 0.2927 0.0789]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

根轨迹设计能更好地抵抗负载扰动。

LQR 直流电机控制设计

为了进一步提高性能，尝试为下面所示的反馈结构设计线性二次调节器 (LQR)。

除了误差积分之外，LQR 方案还使用状态向量 x=(i,w) 来合成驱动电压 Va。产生的电压形式如下

     Va = K1 * w + K2 * w/s + K3 * i

     where i is the armature current.

为了更好地抗扰，使用对大积分误差进行罚分的代价函数，例如下面这个代价函数

$C = \int^\infty_0 (20q(t)^2+\omega(t)^2+0.01V_a(t)^2) dt$

其中

$q(s) = \omega(s)/s.$

此代价函数的最佳 LQR 增益计算如下：

dc_aug = [1 ; tf(1,[1 0])] * dcm(1); % add output w/s to DC motor model

K_lqr = lqry(dc_aug,[1 0;0 20],0.01);

接下来，推导用于仿真目的的闭环模型：

P = augstate(dcm);                     % inputs:Va,Td  outputs:w,x
C = K_lqr * append(tf(1,[1 0]),1,1);   % compensator including 1/s
OL = P * append(C,1);                  % open loop

CL = feedback(OL,eye(3),1:3,1:3);      % close feedback loops
cl_lqr = CL(1,[1 4]);                  % extract transfer (w_ref,Td)->w

下图比较了三种直流电机控制设计的闭环波特图。

bodeplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr);

点击曲线以辨识系统或检查数据。