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矩阵和幻方矩阵

关于矩阵

在 MATLAB® 环境中,矩阵是由数字组成的矩形数组。有时,1×1 矩阵(即标量)和只包含一行或一列的矩阵(即向量)会附加特殊含义。MATLAB 采用其他方法来存储数值数据和非数值数据,但刚开始时,通常最好将一切内容都视为矩阵。MATLAB 旨在尽可能简化运算。其他编程语言一次只能处理一个数字,而 MATLAB 允许您轻松快捷地处理整个矩阵。本手册中使用的有效示例矩阵摘自德国艺术家和业余数学家 Albrecht Dürer 在文艺复兴时期的雕刻 Melencolia I。

这幅图布满了数学符号,通过仔细观察,您会发现右上角有一个矩阵。此矩阵称为幻方矩阵,在 Dürer 所处的时代,此幻方矩阵被视为富有真正的神秘性质。它具有某些值得让人深究的迷人特征。

输入矩阵

开始学习 MATLAB 的最佳方法是了解如何处理矩阵。启动 MATLAB 并按照每个示例操作。

您可以采用多种不同方法在 MATLAB 中输入矩阵:

  • 输入元素的明确列表。

  • 从外部数据文件加载矩阵。

  • 使用内置函数生成矩阵。

  • 使用您自己的函数创建矩阵,并将其保存在文件中。

首先,以元素列表的形式输入丢勒的矩阵。您只需遵循一些基本约定:

  • 使用空格或逗号分隔行的元素。

  • 使用分号 ; 表示每行末尾。

  • 使用方括号 [ ] 将整个元素列表括起来。

要输入丢勒矩阵,只需在命令行窗口中键入即可

A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

MATLAB 显示刚才您输入的矩阵:

A = 
    16     3     2    13
     5    10    11     8
     9     6     7    12
     4    15    14     1

此矩阵与雕刻中的数字一致。输入矩阵之后,MATLAB 工作区会自动记住此矩阵。您可以将其简称为 A。现在,您已经在工作区中输入 A,让我们看看它为什么如此有趣吧。它有什么神奇的地方呢?

矩阵求和、转置和对角矩阵

您可能已经注意到,幻方矩阵的特殊属性与元素的不同求和方法相关。如果沿任何行或列求和,或者沿两条主对角线中的任意一条求和,您将始终得到相同数字。让我们使用 MATLAB 来验证这一点。尝试的第一个语句是

sum(A)

MATLAB 返回的结果为

ans =
    34    34    34    34

如果未指定输出变量,MATLAB 将使用变量 ansanswer 的缩略形式)来存储计算结果。您已经计算包含 A 的列总和的行向量。每个列的总和都相同,即幻数和 34。

行总和如何处理?MATLAB 会优先处理矩阵的列,因此获取行总和的一种方法是转置矩阵,计算转置的列总和,然后转置结果。

MATLAB 具有两个转置运算符。撇号运算符(例如,A')执行复共轭转置。它会围绕主对角线翻转矩阵,并且还会更改矩阵的任何复数元素的虚部符号。点撇号运算符 (A.') 转置矩阵,但不会影响复数元素的符号。对于包含所有实数元素的矩阵,这两个运算符返回相同结果。

因此

A'

生成

ans =
    16     5     9     4
     3    10     6    15
     2    11     7    14
    13     8    12     1

sum(A')'

生成包含行总和的列向量

ans =
    34
    34
    34
    34

有关避免双重转置的其他方法,请在 sum 函数中使用维度参数:

sum(A,2)

生成

ans =
    34
    34
    34
    34

使用 sumdiag 函数可以获取主对角线上的元素的总和:

diag(A)

生成

ans =
    16
    10
     7
     1

sum(diag(A))

生成

ans =
    34

从数学上讲,另一条对角线(即所谓的反对角线)并不是十分重要,因此 MATLAB 没有对此提供现成的函数。但原本用于图形的函数 fliplr 可以从左往右地翻转矩阵:

sum(diag(fliplr(A)))
ans =
    34

您已经验证丢勒雕刻中的矩阵确实是一个幻方矩阵,同时在验证过程中,您已经尝试了几个 MATLAB 矩阵运算。下面各部分继续使用此矩阵来演示 MATLAB 的其他功能。

magic 函数

MATLAB 实际包含一个内置函数,该函数可创建几乎任意大小的幻方矩阵。此函数称为 magic 也就不足为奇了:

B = magic(4)
B = 
    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

此矩阵几乎与丢勒雕刻中的矩阵相同,并且具有所有相同的“神奇”性质;唯一区别在于交换了中间两列。

您可以交换 B 的中间两列,使其看起来像丢勒 A。针对 B 中的每一行,按照指定顺序(1、3、2、4)对列进行重新排列:

A = B(:,[1 3 2 4])
A = 
    16     3     2    13
     5    10    11     8
     9     6     7    12
     4    15    14     1

生成矩阵

MATLAB 软件提供了四个用于生成基本矩阵的函数。

zeros

全部为零

ones

全部为 1

rand

均匀分布的随机元素

randn

正态分布的随机元素

下面给出了一些示例:

Z = zeros(2,4)
Z =
     0     0     0     0
     0     0     0     0

F = 5*ones(3,3)
F =
     5     5     5
     5     5     5
     5     5     5

N = fix(10*rand(1,10))
N =
     9     2     6     4     8     7     4     0     8     4

R = randn(4,4)
R =
    0.6353    0.0860   -0.3210   -1.2316
   -0.6014   -2.0046    1.2366    1.0556
    0.5512   -0.4931   -0.6313   -0.1132
   -1.0998    0.4620   -2.3252    0.3792