按位运算

数值表示

任何数值都可以用位来表示（也称为二进制位）。数值的二进制（即基数为 2）形式包含 1 和 0，以此表示数值中都存在 2 的哪些次幂。例如，7 的 8 位二进制形式是

00000111

8 个位的集合也称为 1 个字节。在二进制表示中，位从右向左计数，因此该表示中的第一个位是 1。此数值表示 7，因为

当您在 MATLAB 中键入数值时，它假设数值为双精度（64 位二进制表示）。但是，您也可以指定单精度数（32 位二进制表示）和整数（有符号或无符号，从 8 到 64 位）。例如，要存储数值 7，最节省内存的方法是使用 8 位无符号整数：

a = uint8(7)

a = uint8
    7

您甚至可以直接使用前缀 0b 后跟二进制数字来指定二进制形式（有关详细信息，请参阅十六进制和二进制值）。MATLAB 以位数最少的整数格式存储数值。您只需指定最左边的 1 和它右边的所有位，而不必指定所有位。该位左边的位是无效零。因此数值 7 是：

b = 0b111

b = uint8
    7

MATLAB 使用 2 的补码存储负整数。以 8 位有符号整数 -8 为例。要找到该数值的 2 的补码位模式，请执行以下操作：

得到的 11111000 是 -8 的位模式：

n = 0b11111000s8

n = int8
    -8

MATLAB 并不主动显示数值的二进制格式。为此，您可以使用 dec2bin 函数，该函数会返回正整数的二进制数字字符向量。同样，此函数只返回不包含无效零的位。

dec2bin(b)

ans = 
'111'

您可以使用 bin2dec 在这两种格式之间切换。例如，您可以使用以下命令将二进制数字 10110101 转换为十进制格式

data = [1 0 1 1 0 1 0 1];
dec = bin2dec(num2str(data))

dec = 181

cast 和 typecast 函数也可用于不同数据类型之间的切换。这些函数是相似的，但它们在如何处理数值的底层存储方面有所不同：

由于 MATLAB 不直接显示二进制数的位，您在进行按位运算时必须注意数据类型。有些函数以字符向量形式返回二进制数字 (dec2bin)，有些函数返回十进制数 (bitand)，还有一些函数返回由位本身组成的向量 (bitget)。

用逻辑运算符进行位掩码

使用 MATLAB 中的一些函数，您可以对以等长二进制表示的两个数值中的位执行逻辑运算，此种运算称为位掩码：

除了这些函数之外，您还可以使用 bitcmp 进行按位补码，但这是一元运算，一次只能翻转一个数值中的位。

位掩码的一个用途是查询特定位的状态。例如，如果对二进制数 00001000 进行按位 AND 运算，您可以查询第四个位的状态。然后，您可以将该位移至第一个位置，以便 MATLAB 返回 0 或 1（下一节将更详细地说明位移）。

n = 0b10111001;
n4 = bitand(n,0b1000);
n4 = bitshift(n4,-3)

n4 = uint8
    1

按位运算有时可以发挥意想不到的作用。例如，以下是数值 $\mathit{n}=8$ 的 8 位二进制表示：

00001000

8 是 2 的幂，因此它的二进制表示只包含一个 1。现在考虑数值 $\left(\mathit{n}-1\right)=7$：

00000111

由于减去了 1，从最右边的 1 开始的所有位都会翻转。因此，当 $\mathit{n}$ 是 2 的幂时，$\mathit{n}$ 和 $\left(\mathit{n}-1\right)$ 的对应位始终不同，使得按位 AND 返回零。

n = 0b1000;
bitand(n,n-1)

ans = uint8
    0

但是，如果 $\mathit{n}$ 不是 2 的幂，则最右边的 1 表示 $2^0$ 位，因此 $\mathit{n}$ 和 $\left(\mathit{n}-1\right)$ 除了 $2^0$ 位之外，其他位都相同。在这种情况下，按位 AND 返回一个非零数值。

n = 0b101;
bitand(n,n-1)

ans = uint8
    4

受上述运算启发，我们可以编写一个简单的函数对给定的输入数值执行位运算，以判断它是否为 2 的幂：

function tf = isPowerOfTwo(n)
  tf = n && ~bitand(n,n-1);
end

使用短路 AND 运算符 && 检查以确保 n 不为零。如果为零，则该函数不需要计算 bitand(n,n-1) 即可知道正确答案是 false。

移位

由于按位逻辑运算比较两个数值中对应的位，因此，能够按需移位以便于比较对应位就显得非常重要。您可以使用 bitshift 执行此操作：

上述操作有时写作 A<<N（左移）和 A>>N（右移），但 MATLAB 没有将 << 和 >> 运算符用于此目的。

当数值的位发生移动时，数值会从末尾丢弃一些位，并引入 0 或 1 来填充新腾出的空间。当您向左移动位时，右端发生位填充；当您向右移动位时，左端发生位填充。

例如，如果将数值 8（二进制：1000）右移一位，则得到 4（二进制：100）。

n = 0b1000;
bitshift(n,-1)

ans = uint8
    4

同样，如果将数值 15（二进制：1111）左移两位，则得到 60（二进制：111100）。

n = 0b1111;
bitshift(15,2)

ans = 60

当您移动负数的位时，bitshift 会保留有符号位。例如，如果将有符号整数 -1（二进制：11111101）向右移动 2 位，则得到 -1（二进制：11111111）。在这些情况下，bitshift 在左端填充 1 而不是 0。

n = 0b11111101s8;
bitshift(n,-2)

ans = int8
    -1

写入位

您可以使用 bitset 函数来更改数值中的位。例如，将数值 8 的第一个位更改为 1（相当于将该数值加 1）：

bitset(8,1)

ans = 9

默认情况下，bitset 将位翻转为 on 或 1。您可以选择使用第三个输入参数来指定位值。

bitset 不会一次更改多个位；要更改多个位，您需要使用 for 循环。因此，您更改的位可以是连续的，也可以是非连续的。例如，更改二进制数 1000 的前两位：

bits = [1 2];
c = 0b1000;
for k = 1:numel(bits)
    c = bitset(c,bits(k));
end
dec2bin(c)

ans = 
'1011'

bitset 的另一个常见用途是将二进制数字向量转换为十进制格式。例如，使用循环来设置整数 11001101 的各个位。

data = [1 1 0 0 1 1 0 1];
n = length(data);
dec = 0b0u8;
for k = 1:n
    dec = bitset(dec,n+1-k,data(k));
end
dec

dec = uint8
    205

dec2bin(dec)

ans = 
'11001101'

读取连续位

位移的另一个用途是隔离位的连续部分。例如，读取 16 位数值 0110000010100000 中的最后四位。前面提到，最后四位位于二进制表示的左端。

n = 0b0110000010100000;
dec2bin(bitshift(n,-12))

ans = 
'110'

要隔离该数值中间的连续位，可以结合使用位移和逻辑掩码。例如，要提取第 13 位和第 14 位，可以向右移动 12 位，然后用 0011 对所得的 4 位进行掩码。由于 bitand 的输入必须为相同的整数数据类型，您可以使用 0b11u16 将 0011 指定为无符号 16 位整数。如果没有 -u16 后缀，MATLAB 会将数值存储为无符号 8 位整数。

m = 0b11u16;
dec2bin(bitand(bitshift(n,-12),m))

ans = 
'10'

读取连续位的另一种方法是使用 bitget，它从数值中读取指定的位。您可以使用冒号表示法指定要读取的几个连续位。例如，读取 n 的最后 8 位。

bitget(n,16:-1:8)

ans = 1x9 uint16 row vector

   0   1   1   0   0   0   0   0   1

读取非连续位

您也可以使用 bitget 从数值中读取彼此不相邻的位。例如，从 n 中读取第 5、8 和 14 位。

bits = [14 8 5];
bitget(n,bits)

ans = 1x3 uint16 row vector

   1   1   0