拉格朗日乘数结构体
有约束的优化涉及一组拉格朗日乘数,如一阶最优性测度中所述。求解器在结构体中返回估计的拉格朗日乘数。该结构体称为 lambda
,因为拉格朗日乘数的传统符号是希腊字母 lambda (λ)。该结构体将乘数分为以下各个类型,称为字段:
lower
,与下界相关联upper
,与上界相关联eqlin
,与线性等式相关联ineqlin
,与线性不等式相关联eqnonlin
,与非线性等式相关联ineqnonlin
,与非线性不等式相关联soc
,与二阶锥约束相关联
例如,要访问拉格朗日乘数结构体的非线性不等式字段,请输入 lambda.inqnonlin
。要访问与下界相关联的拉格朗日乘数的第三个元素,请输入 lambda.lower(3)
。
拉格朗日乘数结构体的内容取决于求解器。例如,线性规划不存在非线性,因此它没有 eqnonlin
和 ineqnonlin
字段。每个适用求解器的函数参考页都在标题“输出”下包含对其拉格朗日乘数结构体的说明。
检查拉格朗日乘数结构体,以解决具有线性和非线性不等式约束和边界的非线性问题。
lb = [-3 -3]; % lower bounds ub = [3 3]; % upper bounds A = [1 1]; % linear inequality x(1) + x(2) <= 1 b = 1; Aeq = []; beq = []; x0 = [-1 1]; fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; % Rosenbrock function nlcons = @(x)deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1,[]); % nonlinear inequality options = optimoptions('fmincon','Display','off'); [x,fval,exitflag,output,lambda] = ... fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nlcons,options); disp(lambda)
eqlin: [0×1 double] eqnonlin: [0×1 double] ineqlin: 0.3407 lower: [2×1 double] upper: [2×1 double] ineqnonlin: 1.7038e-07
以下是拉格朗日乘数结构体的解释。
lambda.eqlin
和lambda.eqnonlin
字段的大小为 0,因为没有线性等式约束和非线性等式约束。lambda.ineqlin
字段的值为0.3407
,表明线性不等式约束处于活动状态。线性不等式约束为x(1) + x(2) <= 1
。检查该约束在解处是否处于活动状态,这意味着解导致不等式变为等式:x(1) + x(2)
ans = 1.0000
检查
lambda.lower
和lambda.upper
字段的值。lambda.lower
ans = 1.0e-07 * 0.2210 0.2365
lambda.upper
ans = 1.0e-07 * 0.3361 0.3056
这些值实际上为零,表明解不在边界附近。
lambda.ineqnonlin
字段的值为1.7038e-07
,表明此约束不处于活动状态。检查约束,即x(1)^2 + x(2)^2 <= 1
。x(1)^2 + x(2)^2
ans = 0.5282
非线性约束函数值不在其极限附近,因此拉格朗日乘数近似为 0。