可视化多元数据

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加载 carbig 数据集，其中包含 20 世纪 70 年代和 80 年代生产的约 400 辆汽车的测量值。使用多元可视化来探究燃油效率（每加仑汽油可行驶的英里数，以 MPG 为单位）、加速度（从 0 mph 到 60 mph 需要的时间，以秒为单位）、发动机排量（以立方英寸为单位）、重量和马力等值。

load carbig
X = [MPG,Acceleration,Displacement,Weight,Horsepower];
varNames = ["MPG","Acceleration","Displacement","Weight","Horsepower"];

散点图矩阵

查看高维数据的一种方式是显示低维子空间中的数据切片。使用 gplotmatrix 函数显示 X 中五个变量的所有二元散点图的数组，以及表示每个变量自身的一元直方图。根据气缸数量对观测值进行分组。

gplotmatrix(X,[],Cylinders,[],[],8,[],[],varNames)

每个散点图中的点按气缸数量进行着色：红色表示 4 缸，紫色表示 6 缸，绿色表示 8 缸。装有转子发动机的汽车有 3 个气缸，少数汽车有 5 个气缸。这组图有助于您找出变量对之间的关系模式。更高维度中的重要模式可能存在，但它们在此图中不易识别。

平行坐标图

虽然散点图矩阵仅显示二元关系，但有些图会同时显示所有变量，并允许您研究变量之间的更高维关系。最简单的多元图就是平行坐标图。此图中的坐标轴是水平排列的，而不是像典型的笛卡尔图那样正交排列。每个观测项在图中表示为一条由几个线段连接起来的连接线。

创建一个涵盖 X 中所有 4 缸、6 缸或 8 缸汽车的绘图，并用颜色对观测值进行分组。

cyl468 = ismember(Cylinders,[4 6 8]);
parallelcoords(X(cyl468,:),Group=Cylinders(cyl468), ...
    Standardize="on",Labels=varNames)

在此图中，水平方向表示坐标轴，垂直方向表示数据。每个观测项由五个变量的测量值组成，每个测量值由对应的线条在每个坐标轴上的高度表示。由于五个变量的范围相差很大，因此图中的每个变量都标准化为均值为 0、方差为 1。图中的着色显示，8 缸汽车通常具有较低的 MPG 和加速度值，以及较高的排量、重量和马力值。

在查看包含大量观测值的平行坐标图时，可能不够清晰直观。要缓解此问题，您可以创建一个平行坐标图，其中只显示每组的中位数以及上四分位数和下四分位数（25% 个点和 75% 个点）。此图有助于更好地区分各组，但不包括可能感兴趣的观测值，如组离群值。

parallelcoords(X(cyl468,:),Group=Cylinders(cyl468), ...
    Standardize="on",Labels=varNames,Quantile=0.25)

安德鲁斯图

另一种类型的多元可视化是安德鲁斯图。此图将每个观测值表示为区间 [0,1] 内的平滑函数。

andrewsplot(X(cyl468,:),Group=Cylinders(cyl468),Standardize="on")

每个函数均为一个傅里叶级数，系数等于对应的观测值。在此示例中，级数有五个项：一个常项、两个正弦项（周期为 1 和 1/2）和两个与之相似的余弦项。前三个项对每个函数形状的影响是最明显的。也就是说，前三个变量的模式往往最容易识别。

绘图显示在 t = 0 处各组之间的显著差异。此差异表明，第一个变量 MPG 是区分 4 缸、6 缸或 8 缸汽车的特征之一。大约在 t = 1/3 处各组之间的差异也很有趣。在安德鲁斯图函数的公式中输入此值。所得的结果是一组定义变量线性组合的系数。这种线性组合有助于将一个组与其他组区分开来。

t1 = 1/3;
coeffs = [1/sqrt(2) sin(2*pi*t1) cos(2*pi*t1) sin(4*pi*t1) cos(4*pi*t1)]

coeffs = 1×5

    0.7071    0.8660   -0.5000   -0.8660   -0.5000

这些系数表明，与 8 缸汽车相比，4 缸汽车具有较高的 MPG 和加速度值，以及较低的排量值、马力值，特别是重量值。此结论与从平行坐标图中得出的结论一致。

图形符号图

您还可以通过使用图形符号表示维度来可视化多元数据。函数 glyphplot 支持两种图形符号：星座图和切尔诺夫脸谱图。创建一个涵盖数据集中前九个车型的星座图。星座的每一条边代表一个变量，边长与代表该观测值的变量值成正比。

g = glyphplot(X(1:9,:),Glyph="star",VarLabels=varNames, ...
    ObsLabels=Model(1:9,:));
set(g(:,3),FontSize=8);

在图窗窗口中，此图允许您通过使用数据游标以交互方式探查数据值。例如，点击代表 Ford Torino 的星座中最右侧的点，将显示该汽车的 MPG 值为 17。

图形符号图和多维尺度分析

如果您在网格上无序绘制各星座，有时在创建的图窗中相邻的星座可能看起来完全不同。您可能无法直观地识别任何模式。为了有助于模式识别，可以将多维尺度分析 (MDS) 与图形符号图结合起来。

首先，选择 1977 年的所有汽车，然后使用 zscore 函数将五个变量都标准化，使其均值为 0、方差为 1。然后，计算标准化观测值中的欧几里德距离作为相异度的测度。对于更复杂的应用程序，可以考虑使用不太简单的相异度的测度。

models77 = find((Model_Year==77));
dissimilarity = pdist(zscore(X(models77,:)));

最后，使用 mdscale 创建一组二维位置（其点间距离近似于原始高维数据点之间的相异度）。使用以下位置绘制图形符号。生成的二维绘图中的距离粗略地重现数据。

Y = mdscale(dissimilarity,2);
figure
glyphplot(X(models77,:),Glyph="star",Centers=Y, ...
    VarLabels=varNames,ObsLabels=Model(models77,:),Radius=0.5)
title("1977 Model Year")

二维绘图使用 MDS 作为降维方法。通常，降维意味着信息丢失，但图形符号包括数据中的所有高维信息。使用 MDS 是为了使数据的变化呈现某种规律性，从而更容易看到图形符号中的模式。

与前面的图一样，您可以使用图窗窗口以交互方式探索此图。

另一种图形符号是切尔诺夫脸谱图。此图形符号将每个观测值的数据值编码为面部特征，例如面孔的大小、面孔的形状、眼睛的位置等。绘图中何种关系最为明显取决于特征与变量的对应关系。使用 glyphplot 指定这种对应关系。

figure
facePlot = glyphplot(X(models77,:),Glyph="face",Centers=Y, ...
    VarLabels=varNames,ObsLabels=Model(models77,:));
set(facePlot(:,1:2),Color="#D95319")
title("1977 Model Year")

在此图中，两个最明显的特征是面孔大小和前额/下巴相对大小，这两个特征分别对应 MPG 和加速度变量。前额形状和下巴形状分别对应排量变量和重量变量。两眼之间的宽度对应马力变量。请注意，前额宽下巴窄的面孔很少，前额窄下巴宽的面孔也很少，这表明排量和重量正线性相关。此结果与从散点图矩阵得到的结果一致。