主要内容

极限

微积分的基本思想是在变量“接近”或趋近于某个值时对函数进行计算。回想一下,导数的定义是由一个极限给出的:

f'(x)=limh0f(x+h)f(x)h,

前提是这个极限存在。通过 Symbolic Math Toolbox™ 软件,您能够直接计算函数的极限。命令

syms h n x
limit((cos(x+h) - cos(x))/h, h, 0)

返回

ans =
-sin(x)

以及命令

limit((1 + x/n)^n, n, inf)

返回

ans =
exp(x)

这两个命令说明了数学中两个最重要的极限:导数(在本例中为 cos(x))和指数函数。

单侧极限

您还可以使用 Symbolic Math Toolbox 软件计算单侧极限。例如,您可以计算 x/|x| 的极限,下图示出了当 x 从左侧或右侧趋近于 0 时该表达式的图。

syms x
fplot(x/abs(x), [-1 1], 'ShowPoles', 'off')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

要计算当 x 从左侧趋近于 0 时的极限,

limx0x|x|,

输入

syms x
limit(x/abs(x), x, 0, 'left')
ans =
 -1

要计算当 x 从右侧趋近于 0 时的极限,

limx0+x|x|=1,

输入

syms x
limit(x/abs(x), x, 0, 'right')
ans =
1

由于从左侧的极限不等于从右侧的极限,因此双侧极限不存在。在极限未定义的情况下,MATLAB® 返回 NaN(不是数字)。例如,

syms x
limit(x/abs(x), x, 0)

返回

ans =
NaN

注意默认情况,limit(f)limit(f,x,0) 相同。探索此表中 limit 命令的选项,其中 f 是符号对象 x 的函数。

数学运算

MATLAB 命令

limx0f(x)

limit(f)

limxaf(x)

limit(f, x, a) or

limit(f, a)

limxaf(x)

limit(f, x, a, 'left')

limxa+f(x)

limit(f, x, a, 'right')