极限 - MATLAB & Simulink

极限

微积分的基本思想是在变量“接近”或趋近于某个值时对函数进行计算。回想一下，导数的定义是由一个极限给出的：

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h},$

前提是这个极限存在。通过 Symbolic Math Toolbox™ 软件，您能够直接计算函数的极限。命令

syms h n x
limit((cos(x+h) - cos(x))/h, h, 0)

ans =
-sin(x)

以及命令

limit((1 + x/n)^n, n, inf)

ans =
exp(x)

这两个命令说明了数学中两个最重要的极限：导数（在本例中为 cos(x)）和指数函数。

您还可以使用 Symbolic Math Toolbox 软件计算单侧极限。例如，您可以计算 x/|x| 的极限，下图示出了当 x 从左侧或右侧趋近于 0 时该表达式的图。

syms x
fplot(x/abs(x), [-1 1], 'ShowPoles', 'off')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

要计算当 x 从左侧趋近于 0 时的极限，

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{| x |},$

输入

syms x
limit(x/abs(x), x, 0, 'left')

ans =
 -1

要计算当 x 从右侧趋近于 0 时的极限，

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{| x |} = 1,$

输入

syms x
limit(x/abs(x), x, 0, 'right')

ans =
1

由于从左侧的极限不等于从右侧的极限，因此双侧极限不存在。在极限未定义的情况下，MATLAB^® 返回 NaN（不是数字）。例如，

syms x
limit(x/abs(x), x, 0)

ans =
NaN

注意默认情况，limit(f) 与 limit(f,x,0) 相同。探索此表中 limit 命令的选项，其中 f 是符号对象 x 的函数。