symsum

符号级数求和

语法

F = symsum(f,k,a,b)

F = symsum(f,k)

说明

F = symsum(f,k,a,b) 返回级数 f 关于求和索引 k 从下界 a 到上界 b 的符号定总和。如果您不指定 k，symsum 会使用由 symvar 确定的变量作为求和索引。如果 f 是常数，则默认变量是 x。

symsum(f,k,[a b]) 或 symsum(f,k,[a; b]) 等效于 symsum(f,k,a,b)。

示例

F = symsum(f,k) 返回级数 f 关于求和索引 k 的不定总和（反差分）。f 参量定义级数，使得不定总和 F 满足关系 F(k+1) - F(k) = f(k)。如果您不指定 k，symsum 会使用由 symvar 确定的变量作为求和索引。如果 f 是常数，则默认变量是 x。

示例

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求数列的和

打开实时脚本

求整数数列 $1 + 2 + 3 + . . . + n = \sum_{k = 1}^{n} k$ 的和。

syms k n
F1 = symsum(k,k,1,n)

F1 = 
 $\frac{n (n + 1)}{2}$

求平方数数列 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + n^{2} = \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ 的和。

syms k n
F2 = symsum(k^2,k,1,n)

F2 = 
 $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}$

求立方数数列 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + n^{3} = \sum_{k = 1}^{n} k^{3}$ 的和。

syms k n
F3 = symsum(k^3,k,1,n)

F3 = 
 $\frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

求具有界限的级数的和

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求下列级数的和。

$\begin{array}{l} F1 = \sum_{k = 0}^{10} k^{2} \\ F2 = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \\ F3 = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \end{array}$

syms k x
F1 = symsum(k^2,k,0,10)

F1 =  $385$

F2 = symsum(1/k^2,k,1,Inf)

F2 = 
 $\frac{π^{2}}{6}$

F3 = symsum(x^k/factorial(k),k,1,Inf)

F3 =  $e^{x} - 1$

您也可以将求和界限指定为行向量或列向量。

F1 = symsum(k^2,k,[0 10])

F1 =  $385$

F2 = symsum(1/k^2,k,[1;Inf])

F2 = 
 $\frac{π^{2}}{6}$

F3 = symsum(x^k/factorial(k),k,[1 Inf])

F3 =  $e^{x} - 1$

求级数的不定总和

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求下列级数的不定总和（反差分）。

$\begin{array}{l} F1 = \sum_{k} k \\ F2 = \sum_{k} 2^{k} \\ F3 = \sum_{k} \frac{1}{k^{2}} \end{array}$

syms k
F1 = symsum(k,k)

F1 = 
 $\frac{k^{2}}{2} - \frac{k}{2}$

F2 = symsum(2^k,k)

F2 =  $2^{k}$

F3 = symsum(1/k^2,k)

F3 = 
 ${\begin{array}{cl} - {ψ psi}^{'} (k) & if 0 < k \\ {ψ psi}^{'} (1 - k) & if k \leq 0 \end{array}$

多项式级数求和

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求多项式级数 $F (x) = \sum_{k = 1}^{8} a_{k} x^{k}$ 的和。

如果已知系数 $a_{k}$ 是某个整数变量 $k$ 的函数，则您可以使用 symsum 函数。例如，求级数 $F (x) = \sum_{k = 1}^{8} k x^{k}$ 的和。

syms x k
F(x) = symsum(k*x^k,k,1,8)

F(x) =  $8 x^{8} + 7 x^{7} + 6 x^{6} + 5 x^{5} + 4 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + x$

计算级数关于 $x = 2$ 的和。

F(2)

ans =  $3586$

或者，如果已知系数 $a_{k}$ 是一个值向量，则您可以使用 sum 函数。例如，系数为 $a_{1}, \dots, a_{8} = 1, \dots, 8$ 。使用 subs(x^k,k,1:8) 将项 $x^{k}$ 声明为向量。

a = 1:8;
G(x) = sum(a.*subs(x^k,k,1:8))

G(x) =  $8 x^{8} + 7 x^{7} + 6 x^{6} + 5 x^{5} + 4 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + x$

计算级数关于 $x = 2$ 的和。

G(2)

ans =  $3586$

输入参数

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`f` — 定义级数项的表达式
符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号数

定义级数项的表达式，指定为符号表达式、符号函数、符号向量、符号矩阵或符号数。

`k` — 求和索引
符号变量

求和索引，指定为符号变量。如果您不指定此变量，symsum 会使用由 symvar(expr,1) 确定的默认变量。如果 f 是常数，则默认变量是 x。

`a` — 求和索引的下界
数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数

求和索引的下界，指定为数字、符号数、符号变量、符号表达式或符号函数（包括具有无限值的表达式和函数）。

`b` — 求和索引的上界
数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数

求和索引的上界，指定为数字、符号数、符号变量、符号表达式或符号函数（包括具有无限值的表达式和函数）。

详细信息

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定总和

级数的定总和定义为

$\sum_{k = a}^{b} f_{k} = f_{a} + f_{a + 1} + \dots + f_{b} .$

不定总和

级数的定总和（反差分）定义为

$F (x) = \sum_{x} f (x),$

使得

$F (x + 1) - F (x) = f (x) .$

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

主题

Symbolic Summation

symsum

语法

说明

示例

求数列的和

求具有界限的级数的和

求级数的不定总和

多项式级数求和

输入参数

f — 定义级数项的表达式 符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号数

k — 求和索引 符号变量

a — 求和索引的下界 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数

b — 求和索引的上界 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数

详细信息

定总和

不定总和

版本历史记录

另请参阅

主题

`f` — 定义级数项的表达式
符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号数

`k` — 求和索引
符号变量

`a` — 求和索引的下界
数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数

`b` — 求和索引的上界
数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数