频谱归一化

信号的频谱即为该信号傅里叶变换的平方。使用命令 spa、spafdr 和 etfe 获得的谱估计值，会根据采样时间 T 进行归一化：

$Φ_{y} (ω) = T \sum_{k = - M}^{M} R_{y} (k T) e^{- i w T} W_{M} (k)$

其中 W_M(k) 表示滞后窗，M 表示滞后窗的宽度。输出协方差 R_y(kT) 由以下离散表示给出：

${\hat{R}}_{y} (k T) = \frac{1}{N} \sum_{l = 1}^{N} y (l T - k T) y (l T)$

由于向量的离散傅里叶变换中不存在缩放因子，因此 T 的目的是将向量的离散变换与被测信号在物理上具有实际意义的变换建立联系。这种归一化将 $Φ_{y} (ω)$ 的单位设定为功率/弧度/单位时间，并将频率单位设定为弧度/单位时间。

T 的缩放因子对于在插值或降采样后保持频谱的能量密度是必要的。

根据帕塞瓦尔定理，信号的平均能量必须等于估计频谱中的平均能量，具体关系如下：

$\begin{array}{l} E y^{2} (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- π / T}^{π / T} Φ_{y} (ω) d ω \\ S 1 \equiv E y^{2} (t) \\ S 2 \equiv \frac{1}{2 π} \int_{- π / T}^{π / T} Φ_{y} (ω) d ω \end{array}$

要将等式左侧 (S1) 与右侧 (S2) 进行比较，请输入以下命令。在此代码中，phiy 包含位于 $ω = 0$ 和 $ω = \frac{π}{T}$ 之间的 $Φ_{y} (ω)$ ，其频率步长如下所示：

$(\frac{π}{T \cdot length(phiy)})$

load iddata1

创建一个时间序列 iddata 对象。

y = z1(:,1,[]);

根据数据确定采样间隔。

T = y.Ts;

估计频率响应。

sp = spa(y);

删除多余的维度。

phiy = squeeze(sp.spec);

计算信号的平均能量。

S1 = sum(y.y.^2)/size(y,1)

S1 = 
19.4646

根据估计的频谱计算平均能量，其中 S2 按 T 进行归一化。

S2 = sum(phiy)/length(phiy)/T

S2 = 
19.2076

因此，信号的平均能量大致等于估计频谱中的平均能量。

另请参阅

etfe | spa | spafdr