lsqnonneg

求解非负线性最小二乘问题

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语法

x = lsqnonneg(C,d)

x = lsqnonneg(C,d,options)

x = lsqnonneg(problem)

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(___)

说明

求解以下形式的非负最小二乘曲线拟合问题

$\min_{x} {‖ C \cdot x - d ‖}_{2}^{2}, where x \geq 0.$

注意

lsqnonneg 仅适用于基于求解器的方法。有关这两种优化方法的讨论，请参阅首先选择基于问题或基于求解器的方法。

示例

x = lsqnonneg(C,d) 返回在 x ≥ 0 的约束下，使得 norm(C*x-d) 最小的向量 x。参数 C 和 d 必须为实数。

示例

x = lsqnonneg(C,d,options) 使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimset 可设置这些选项。

x = lsqnonneg(problem) 求 problem 的最小值，它是 problem 中所述的一个结构体。

示例

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(___)，对于上述任何语法，还返回残差的 2-范数平方值 norm(C*x-d)^2 以及残差 d-C*x。

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(___) 还返回描述 lsqnonneg 的退出条件的值 exitflag，以及提供优化过程信息的结构体 output。

示例

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(___) 还返回拉格朗日乘数向量 lambda。

示例

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非负线性最小二乘

打开实时脚本

计算线性最小二乘问题的非负解，并将结果与无约束问题的解进行比较。

为问题 $\min | | C x - d | |$ 准备 C 矩阵和 d 向量。

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];
 
d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

计算有约束和无约束的解。

x = lsqnonneg(C,d)

xunc = C\d

xunc = 2×1

   -2.5627
    3.1108

x 中的所有项均为非负数，但 xunc 中某些项为负数。

计算两个解的残差的范数。

constrained_norm = norm(C*x - d)

constrained_norm = 0.9118

unconstrained_norm = norm(C*xunc - d)

unconstrained_norm = 0.6674

无约束解的残差范数较小，因为约束只会增加残差范数。

具有非默认选项的非负最小二乘

打开实时脚本

将 Display 选项设置为 'final'，以查看 lsqnonneg 结束时的输出。

创建选项。

options = optimset('Display','final');

为问题 $\min | | C x - d | |$ 准备 C 矩阵和 d 向量。

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

使用 options 结构体调用 lsqnonneg。

x = lsqnonneg(C,d,options);

Optimization terminated.

从非负最小二乘获取残差

打开实时脚本

以带输出的方式调用 lsqnonneg，以获取解、残差范数和残差向量。

为问题 $\min | | C x - d | |$ 准备 C 矩阵和 d 向量。

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

获取解和残差信息。

 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(C,d)

resnorm = 0.8315

residual = 4×1

    0.6599
   -0.3119
   -0.3580
    0.4130

验证返回的残差范数是返回的残差向量范数的平方。

 norm(residual)^2

ans = 0.8315

检查非负最小二乘的结果

打开实时脚本

在 lsqnonneg 完成之后，请求所有输出参数，以检查解和求解过程。

为问题 $\min | | C x - d | |$ 准备 C 矩阵和 d 向量。

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

解算该问题，并请求所有输出参数。

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(C,d)

resnorm = 0.8315

residual = 4×1

    0.6599
   -0.3119
   -0.3580
    0.4130

exitflag = 1

output = struct with fields:
    iterations: 1
     algorithm: 'active-set'
       message: 'Optimization terminated.'

lambda = 2×1

   -0.1506
   -0.0000

exitflag 为 1，表示正确的解。

x(1) = 0，对应的 lambda(1) $\neq$ 0，表示正确的对偶性。同样，x(2) > 0，对应的 lambda(2) = 0。

输入参数

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`C` — 线性乘数
实矩阵

线性乘数，指定为实矩阵。代表以下问题中的变量 C：

$\min_{x} {‖ C x - d ‖}_{2}^{2} .$

为了保证兼容性，C 的行数必须等于 d 的长度。

示例： C = [1,2;3,-1;-4,4]

数据类型： double

`d` — 加法项
实数向量

加法项，指定为实数向量。代表以下问题中的变量 d：

$\min_{x} {‖ C x - d ‖}_{2}^{2} .$

为了保证兼容性，d 的长度必须等于 C 的行数。

示例： d = [1;-6;5]

数据类型： double

`options` — 优化选项
结构体，例如 `optimset` 返回的结构体

优化选项，指定为结构体，例如 optimset 返回的结构体。您可以使用 optimset 设置或更改 options 结构体中这些字段的值。有关详细信息，请参阅优化选项参考。

`Display`	显示级别： `'notify'`（默认值）仅在函数未收敛时显示输出。 `'off'` 或 `'none'` 不显示输出。 `'final'` 仅显示最终输出。
`TolX`	关于正标量 `x` 的终止容差。默认值为 `10epsnorm(C,1)*length(C)`。请参阅容差和停止条件。

示例： options = optimset('Display','final')

数据类型： struct

`problem` — 问题结构体
结构体

问题结构体，指定为含有以下字段的结构体。

字段名称	条目
`C`	实矩阵
`d`	实数向量
`solver`	`'lsqnonneg'`
`options`	options 结构体，例如 `optimset` 返回的结构体

数据类型： struct

输出参数

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`x` — 解
实数向量

解，以实数向量形式返回。x 与 d 的长度相同。

`resnorm` — 残差范数的平方
非负标量

残差范数的平方，以非负标量的形式返回。等于 norm(C*x-d)^2。

`residual` — 残差
实数向量

残差，以实数向量形式返回。残差为 d - C*x。

`exitflag` — `lsqnonneg` 停止的原因
整数

lsqnonneg 停止的原因，以整数形式返回。

`1`	函数收敛于解 `x`。
`0`	迭代次数超出 `options.MaxIter`。

`output` — 有关优化过程的信息
结构体

有关优化过程的信息，以包含下列字段的结构体形式返回：

`iterations`	执行的迭代次数
`algorithm`	`'active-set'`
`message`	退出消息

`lambda` — 拉格朗日乘数
实数向量

拉格朗日乘数，以实数向量形式返回。这些条目满足互补条件 x'*lambda = 0。这意味着当 x(i) 近似为 0 时，lambda(i) < 0；当 x(i) > 0 时，lambda(i) 近似为 0。

提示

对于 d 的长度超过 20 的问题，lsqlin 可能比 lsqnonneg 更快。当 d 的长度小于 20 时，lsqnonneg 通常效率更高。
当 C 的行数多于列数时（意味着方程组超定），要在求解器之间进行转换，请使用以下语法
```
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(C,d)
```
等效于
```
[m,n] = size(C);
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda_lsqlin] = ...
   lsqlin(C,d,-eye(n,n),zeros(n,1));
```
唯一区别是对应的拉格朗日乘数具有相反符号：lambda = -lambda_lsqlin.ineqlin。

算法

lsqnonneg 使用 [1] 中所述的算法。算法以一组可能的基向量开始并计算关联的对偶向量 lambda。然后将选择对应于 lambda 中的最大值的基向量，以便将该基向量交换为其他可能的向量。此操作会一直继续，直至 lambda ≤ 0。

替代功能

App

优化实时编辑器任务为 lsqnonneg 提供可视化界面。

参考

[1] Lawson, C. L. and R. J. Hanson. Solving Least-Squares Problems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1974. Chapter 23, p. 161.

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

对于 C/C++ 代码生成：

必须启用对可变大小数组的支持。
输出结构体中的退出消息未转换。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

mldivide | lsqlin | optimset | 优化

lsqnonneg

语法

说明

示例

非负线性最小二乘

具有非默认选项的非负最小二乘

从非负最小二乘获取残差

检查非负最小二乘的结果

输入参数

C — 线性乘数 实矩阵

d — 加法项 实数向量

options — 优化选项 结构体，例如 optimset 返回的结构体

problem — 问题结构体 结构体

输出参数

x — 解 实数向量

resnorm — 残差范数的平方 非负标量

residual — 残差 实数向量

exitflag — lsqnonneg 停止的原因 整数

output — 有关优化过程的信息 结构体

lambda — 拉格朗日乘数 实数向量

提示

算法

替代功能

App

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

版本历史记录

另请参阅

WeChat

`C` — 线性乘数
实矩阵

`d` — 加法项
实数向量

`options` — 优化选项
结构体，例如 `optimset` 返回的结构体

`problem` — 问题结构体
结构体

`x` — 解
实数向量

`resnorm` — 残差范数的平方
非负标量

`residual` — 残差
实数向量

`exitflag` — `lsqnonneg` 停止的原因
整数

`output` — 有关优化过程的信息
结构体

`lambda` — 拉格朗日乘数
实数向量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。