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混合整数线性规划基础:基于问题

此示例说明如何求解混合整数线性问题。该示例并不复杂,但它说明了使用基于问题的方法表示问题的典型步骤。有关展示此示例的视频,请参阅使用优化建模求解混合整数线性规划问题

要了解如何通过基于求解器的方法处理此问题,请参阅混合整数线性规划基础:基于求解器

问题描述

您要混合具有不同化学组成的钢材,以获得 25 吨具有某一特定化学组成的钢材。所得钢材应包含 5% 的碳和 5% 的钼(以重量计),即 25 吨 *5% = 1.25 吨碳和 1.25 吨钼。目标是将混合钢材的成本降至最低。

此问题摘自以下文献:Carl-Henrik Westerberg, Bengt Bjorklund, and Eskil Hultman, “An Application of Mixed Integer Programming in a Swedish Steel Mill.”Interfaces February 1977 Vol. 7, No. 2 pp. 39–43,摘要可见于 https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39

有四种钢锭可供购买。每种钢锭只能购买一块。

IngotWeightinTons%Carbon%MolybdenumCostTon1553$3502343$3303454$3104634$280

有三种等级的合金钢和一种等级的废钢可供购买。合金和废钢不必整吨购买。

Alloy%Carbon%MolybdenumCostTon186$500277$450368$400Scrap39$100

表示问题

要表示此问题,首先要确定控制变量。以变量 ingots(1) = 1 表示您购买钢锭 1ingots(1) = 0 表示您不购买此钢锭。类似地,变量 ingots(2)ingots(4) 也是二元变量,用于指示您是否购买钢锭 24

变量 alloys(1)alloys(3) 分别是您购买的合金 123的吨数,scrap 是您购买的废钢的吨数。

steelprob = optimproblem;
ingots = optimvar('ingots',4,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
alloys = optimvar('alloys',3,'LowerBound',0);
scrap = optimvar('scrap','LowerBound',0);

创建与变量相关联的成本表达式。

weightIngots = [5,3,4,6];
costIngots = weightIngots.*[350,330,310,280];
costAlloys = [500,450,400];
costScrap = 100;
cost = costIngots*ingots + costAlloys*alloys + costScrap*scrap;

将成本作为目标函数包含在问题中。

steelprob.Objective = cost;

该问题有三个等式约束。第一个约束是总重量为 25 吨。计算钢的重量。

totalWeight = weightIngots*ingots + sum(alloys) + scrap;

第二个约束是碳的重量为 25 吨的 5%,即 1.25 吨。计算钢中碳的重量。

carbonIngots = [5,4,5,3]/100;
carbonAlloys = [8,7,6]/100;
carbonScrap = 3/100;
totalCarbon = (weightIngots.*carbonIngots)*ingots + carbonAlloys*alloys + carbonScrap*scrap;

第三个约束是钼的重量为 1.25 吨。计算钢中钼的重量。

molybIngots = [3,3,4,4]/100;
molybAlloys = [6,7,8]/100;
molybScrap = 9/100;
totalMolyb = (weightIngots.*molybIngots)*ingots + molybAlloys*alloys + molybScrap*scrap;

在问题中包含约束。

steelprob.Constraints.conswt = totalWeight == 25;
steelprob.Constraints.conscarb = totalCarbon == 1.25;
steelprob.Constraints.consmolyb = totalMolyb == 1.25;

求解问题

现已具备所有输入,请调用求解器。

[sol,fval] = solve(steelprob);
Solving problem using intlinprog.
LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

查看解。

sol.ingots
ans = 4×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000

sol.alloys
ans = 3×1

    7.2500
         0
    0.2500

sol.scrap
ans = 3.5000
fval
fval = 8.4950e+03

最优购买成本为 8495 美元。购买钢锭 124,但不购买 3,并购买 7.25 吨合金 1、0.25 吨合金 3 和 3.5 吨废钢。

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