混合整数线性规划基础：基于求解器

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此示例说明如何求解混合整数线性问题。该示例虽不复杂，但它说明了使用 intlinprog 语法表示问题的典型步骤。

要了解如何通过基于问题的方法处理此问题，请参阅混合整数线性规划基础：基于问题。

问题描述

您要混合具有不同化学组成的钢材，以获得 25 吨具有某一特定化学组成的钢材。所得钢材应包含 5% 的碳和 5% 的钼（以重量计），即 25 吨 *5% = 1.25 吨碳和 1.25 吨钼。目标是将混合钢材的成本降至最低。

此问题摘自以下文献：Carl-Henrik Westerberg, Bengt Bjorklund, and Eskil Hultman, “An Application of Mixed Integer Programming in a Swedish Steel Mill.”Interfaces February 1977 Vol. 7, No. 2 pp. 39–43，摘要可见于 https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39。

有四种钢锭可供购买。每种钢锭只能购买一块。

IngotWeightinTons%Carbon%MolybdenumCostTon1553$3502343$3303454$3104634$280

有三种等级的合金钢和一种等级的废钢可供购买。合金和废钢不必整吨购买。

Alloy%Carbon%MolybdenumCostTon186$500277$450368$400Scrap39$100

要表示此问题，首先要确定控制项变量。以变量 x(1) = 1 表示您购买钢锭 1，x(1) = 0 表示您不购买此钢锭。类似地，变量 x(2) 至 x(4) 也是二元变量，用于指示您是否购买钢锭 2 至 4。

变量 x(5) 至 x(7) 分别是您购买的合金 1、2 和 3的吨数，x(8) 是您购买的废钢的吨数。

MATLAB® 表示

通过指定 intlinprog 的输入来表示问题。相关 intlinprog 语法如下：

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

为 intlinprog 创建输入，从第一个 (f) 到最后一个 (ub) 都包含在内。

f 是由成本系数组成的向量。表示钢锭成本的系数是钢锭重量与其每吨成本之积。

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

整数变量是前四个。

intcon = 1:4;

提示：要指定二元变量，请在 intcon 中将变量设置为整数，并指定其下界为 0，上界为 1。

该问题没有线性不等式约束，因此 A 和 b 是空矩阵 ([])。

A = [];
b = [];

该问题有三个等式约束。第一个约束是总重量为 25 吨。

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25

第二个约束是碳的重量为 25 吨的 5%，即 1.25 吨。

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)

+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25

第三个约束是钼的重量为 1.25 吨。

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)

+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25

指定约束，即采用矩阵形式的 Aeq*x = beq。

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

每个变量都以零为下界。整数变量以 1 为上界。

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

求解问题

现已具备所有输入，请调用求解器。

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
Running HiGHS 1.7.1: Copyright (c) 2024 HiGHS under MIT licence terms
Coefficient ranges:
  Matrix [3e-02, 6e+00]
  Cost   [1e+02, 2e+03]
  Bound  [1e+00, 1e+00]
  RHS    [1e+00, 2e+01]
Presolving model
3 rows, 8 cols, 24 nonzeros  0s
3 rows, 8 cols, 18 nonzeros  0s

Solving MIP model with:
   3 rows
   8 cols (4 binary, 0 integer, 0 implied int., 4 continuous)
   18 nonzeros

        Nodes      |    B&B Tree     |            Objective Bounds              |  Dynamic Constraints |       Work      
     Proc. InQueue |  Leaves   Expl. | BestBound       BestSol              Gap |   Cuts   InLp Confl. | LpIters     Time

         0       0         0   0.00%   0               inf                  inf        0      0      0         0     0.0s
         0       0         0   0.00%   8125.6          inf                  inf        0      0      0         4     0.0s
 R       0       0         0   0.00%   8495            8495               0.00%        5      0      0         5     0.0s

Solving report
  Status            Optimal
  Primal bound      8495
  Dual bound        8495
  Gap               0% (tolerance: 0.01%)
  Solution status   feasible
                    8495 (objective)
                    0 (bound viol.)
                    0 (int. viol.)
                    0 (row viol.)
  Timing            0.00 (total)
                    0.00 (presolve)
                    0.00 (postsolve)
  Nodes             1
  LP iterations     5 (total)
                    0 (strong br.)
                    1 (separation)
                    0 (heuristics)

Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 1e-06. The intcon variables are integer within tolerance, options.ConstraintTolerance = 1e-06.

查看解。

x,fval
x = 8×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000


fval = 
8495

最优购买成本为 8495 美元。购买钢锭 1、2 和 4，但不购买 3，并购买 7.25 吨合金 1、0.25 吨合金 3 和 3.5 吨废钢。

设置 intcon = []，以查看在无整数约束情况下求解问题的效果。解不同且不现实，因为钢锭必须整块购买。

另请参阅

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