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混合整数线性规划基础:基于求解器

此示例说明如何求解混合整数线性规划。该示例并不复杂,但它显示了以 intlinprog 语法表示问题的典型步骤。

要了解如何通过基于问题的方法处理此问题,请参阅混合整数线性规划基础:基于问题

问题描述

您要混合具有不同化学组成的钢材,以获得 25 吨具有某一特定化学组成的钢材。所得钢材应包含 5% 的碳和 5% 的钼(以重量计),即 25 吨 *5% = 1.25 吨碳和 1.25 吨钼。目标是将混合钢材的成本降至最低。

此问题摘自以下文献:Carl-Henrik Westerberg, Bengt Bjorklund, and Eskil Hultman, “An Application of Mixed Integer Programming in a Swedish Steel Mill.”Interfaces February 1977 Vol. 7, No. 2 pp. 39–43,摘要可见于 http://interfaces.journal.informs.org/content/7/2/39.abstract

有四种钢锭可供购买。每种钢锭只能购买一块。

钢锭重量(吨)碳百分比钼百分比成本/吨
1553$350
2343$330
3454$310
4634$280

有三种等级的合金钢可供购买,另有一种等级的废钢。合金和废钢不必整吨购买。

合金碳百分比钼百分比成本/吨
186$500
277$450
368$400
废钢39$100

要表示此问题,首先要确定控制变量。以变量 x(1) = 1 表示您购买钢锭 1x(1) = 0 表示您不购买此钢锭。同样,变量 x(2)x(4) 是二元变量,表示您是否购买钢锭 24

变量 x(5)x(7) 分别是您购买的合金 123 的吨数,x(8) 是您购买的废钢的吨数。

MATLAB 表示

通过指定 intlinprog 的输入来表示问题。相关的 intlinprog 语法如下。

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

intlinprog 创建输入,从第一个 (f) 到最后一个 (ub) 都包含在内。

f 是由成本系数组成的向量。表示钢锭成本的系数是钢锭重量与其每吨成本之积。

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

整数变量是前四个。

intcon = 1:4;

提示

要指定二元变量,请在 intcon 中将变量设置为整数,并指定其下界为 0,上界为 1

没有线性不等式约束,因此 Ab 是空矩阵 ([])。

有三个等式约束。第一个约束是总重量为 25 吨。

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25.

第二个约束是碳的重量为 25 吨的 5%,即 1.25 吨。

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)
+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25
.

第三个约束是钼的重量为 1.25 吨。

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)
+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25
.

以矩阵形式表示为 Aeq*x = beq,其中

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

每个变量都以零为下界。整数变量以 1 为上界。

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

求解问题

现已具备所有输入,请调用求解器。

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub);

查看解。

x,fval
x =

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000


fval =

   8.4950e+03

最优购买成本为 8495 美元。购买钢锭 124,但不购买 3,并购买 7.25 吨合金 1、0.25 吨合金 3 和 3.5 吨废钢。

设置 intcon = [],以查看在无整数约束情况下求解问题的效果。解不同且无意义,因为钢锭必须整块购买。