选择模块来建模变压器

Simscape™ 和 Simscape Electrical™ 库包含多个模块，可用于建模相同的变压器设备。例如，Mutual Inductor、Ideal Transformer 和 Nonlinear Transformer 模块均模拟模型二电磁耦合绕组。然而，此模块采用了不同的建模假设。要为您的应用选择合适的模块，您需要理解这些假设及其如何影响模块行为，这些行为会随频率的变化作为函数而变化。

比较方程

要理解不同变压器建模模块之间的差异，比较它们使用的方程很有帮助。在本节中，您首先推导出双绕组组件磁畴表示的广义传递函数，并给出理想化情况下的若干简化近似。然后，将磁路方程与不同变压器模块使用的电路方程进行比较。本分析侧重于双绕组组件，但其中某些关键点同样适用于三绕组组件。

有关变压器模型之间的差异、使用这些模型的模块以及何时使用每个模块的指导，请参阅选择正确的模块。

广义磁路

该图展示了双绕组变压器的通用磁等效电路。

Equivalent magnetic circuit for a two-winding transformer. A Fundamental Reluctance block along the closed loop between the primary and secondary windings models the core reluctance. Two additional Fundamental Reluctance blocks, in parallel with the primary and secondary windings, model the leakage reluctances.

标记为 Primary electromagnetic converter 和 Secondary electromagnetic converter 的 Electromagnetic Converter 磁路模块，代表连接电回路与磁回路的两组绕组。在此方向下，这些变压器模块遵循所有变压器模块采用的绕组配置，即初级绕组上的正向电压会导致次级绕组产生正向输出电流。

这些方程定义了初级和次级绕组的行为。

F_{1} = N_{1} i_{1}

(1)

F_{2} = N_{2} i_{2}

(2)

v_{1} - i_{1} r_{1} = - N_{1} \frac{d ϕ_{1}}{d t}

(3)

v_{2} - i_{2} r_{2} = - N_{2} \frac{d ϕ_{2}}{d t}

(4)

这些方程具有此模块的以下参数值：

r₁ 是主欧姆电阻。
r₂ 是次欧姆电阻。
N₁ 是初级绕组的匝数。
N₂ 是次级绕组的匝数。

这些方程在磁场和电场中包含以下变量：

Φ₁ 是流入初级电磁转换器北端子的磁通量。
Φ₂ 是流入次级电磁转换器北端子的磁通量。
F₁ 是初级电磁转换器南北两极端之间的磁动势 (MMF)。
F₂ 是次级电磁转换器南北端子间的磁通密度。
i₁ 是流入初级电磁转换器正极的电流。
i₂ 是流入次级电磁转换器正极的电流。
v₁ 是初级电磁转换器正负两端之间的电压。
v₂ 是次级电磁转换器正负极之间的电压。

标记为 R1、R2 和 Rc 的 Fundamental Reluctance 磁阻模块，在磁通量 𝜙 穿过时会表现出磁动磁导率 (MMF) 的下降。漏磁阻 R1 和 R2 代表电磁转换器产生的磁通量中未沿主磁路径流动的部分。这些模块表示两个相连的电路之间耦合的丧失。Rc 磁阻是磁芯磁阻。这些参数值描述了 Fundamental Reluctance 模块的磁性行为：

R₁ 是主漏磁阻。
R₂ 是次级漏磁阻。
R_c 是磁芯磁阻。

R_c 值越小，意味着较小的磁耦合系数就能在两绕组间产生相同的磁通链。较小的磁动势意味着较小的电流即可产生相同的磁通联接量，因为磁动势等于电流与绕组匝数的乘积。

现在，考虑基尔霍夫方程。将主磁路径周围的磁通量加总得到

N_{1} i_{1} - R_{c} ϕ_{1} + N_{2} i_{2} = 0.

(5)

在主电磁转换器北端汇合的磁通量总和为：

- ϕ = ϕ_{1} + \frac{N_{1} i_{1}}{R_{1}} = 0,

(6)

其中 Φ 是从北端流向南端、穿过磁芯磁阻 R_c 的磁通量。在次级电磁转换器北端求和磁通量得：

- ϕ = ϕ_{2} + \frac{N_{2} i_{2}}{R_{2}} = 0.

(7)

现在，考虑输入输出行为。假设您在初级绕组上施加电压 V，并将次级绕组短路。注意到 v₁ = V 且 v₂ = 0，并利用方程 3-7，可推导出次级绕组电流的表达式：

i_{2} = \frac{- N_{1} N_{2} R_{1} R_{2} s}{N_{1}^{2} N_{2}^{2} (R_{1} + R_{2} + R_{c}) s^{2} + (N_{1}^{2} R_{1} R_{2} r_{2} + N_{1}^{2} R_{2} R_{c} r_{2} + N_{2}^{2} R_{1} R_{c} r_{1}) s + R_{1} R_{2} R_{c} r_{1} r_{2}} V,

(8)

其中 s 是拉普拉斯变换变量。该方程的分子在 s = 0 时为零，这意味着 DC 输入无法传输，正如互感耦合所预期的那样。

方程 8 是通用情况的传递函数。在理想化情况下，您可以简化这个表达式：

磁芯磁阻非常小 - 主磁通路径周围的磁通电阻较低。
漏磁阻极大 - 在主磁路径之外存在对磁通量的强烈阻碍。

小磁芯磁阻. 若磁芯磁阻 R_c 足够小可忽略不计，则等效磁路可简化为：

Equivalent magnetic circuit for a two-winding transformer with negligible core reluctance. Two Fundamental Reluctance blocks, in parallel with the primary and secondary windings, model the leakage reluctances.

方程 8 可简化为

$i_{2} = \frac{- N_{1} N_{2}}{N_{1}^{2} N_{2}^{2} \frac{(R_{1} + R_{2})}{R_{1} R_{2}} s + N_{1}^{2} r_{2}} V .$

对于直流电，s 等于零，因此该方程进一步简化为

$i_{2} r_{2} = \frac{- N_{2}}{N_{1}} V .$

该方程是理想变压器的方程。该方程不依赖于 R₁ 和 R₂。

若 R₁ 和 R₂ 非常大，则 $\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}$ 项变得非常小。若同样忽略该项，方程 8 在所有频率下即成为理想变压器方程。

大漏磁阻. 现在，考虑磁芯磁阻 R_c 不小而漏磁阻非常大的情况。等效磁路可简化为：

Equivalent magnetic circuit for a two-winding transformer with infinite leakage reluctances. A Fundamental Reluctance block along the closed loop between the primary and secondary windings models the core reluctance.

将方程 8 的分子和分母除以 R₁R₂ ，得

$i_{2} = \frac{- N_{1} N_{2} s}{\frac{N_{1}^{2} N_{2}^{2} (R_{1} + R_{2} + R_{c}) s^{2}}{R_{1} R_{2}} + (N_{1}^{2} r_{2} + \frac{N_{1}^{2} R_{c} r_{2}}{R_{1}} + \frac{N_{2}^{2} R_{c} r_{1}}{R_{2}}) s + R_{c} r_{1} r_{2}} V .$

若忽略分母中的小项，该方程可化简为

$i_{2} = \frac{- N_{1} N_{2} s}{N_{1}^{2} r_{2} s + R_{c} r_{1} r_{2}} V .$

在此情况下，由于分子中的 s，DC 电不会在任何频率下传输。还存在一个一阶时常，其值仅取决于磁芯磁阻和初级电磁变换器参数，

$τ = \frac{R_{c} r_{1}}{N_{1}^{2}} .$

摘要. 对双绕组变压器等效磁路的分析有助于理解在电学领域中建模双绕组变压器的不同模块之间的差异：

若磁芯磁阻 R_c 极小，功率则以 DC 形式传输。这种传输方式可能对某些电路造成问题，因为它实际上增加了真实系统中并不存在的接地路径。
若漏磁阻 R₁ 和 R₂ 非常大，DC 电将无法传输。每个绕组对所连接的电路呈现出具有相关时间常数的阻抗。
若磁芯磁阻非常小，而漏磁阻 R₁ 和 R₂ 非常大，则变压器表现得如同理想变压器。

Mutual Inductor 模块

这些方程定义了 Mutual Inductor 模块的行为，但未实现完美耦合：

v_{1} - i_{1} r_{1} = L_{1} \frac{d i_{1}}{d t} + M \frac{d i_{2}}{d t}

(9)

v_{2} - i_{2} r_{2} = L_{2} \frac{d i_{2}}{d t} + M \frac{d i_{1}}{d t},

(10)

其中

M = k \sqrt{L_{1} L_{2}},

(11)

而 k 是耦合因子。该参数表示电回路与磁回路之间的耦合关系，而非原边与次边之间的磁耦合。因此，k 与漏磁阻相关。

这些方程必须与广义磁路（方程 3-7）表现出完全相同的特性。磁畴方程组新增了三个磁畴方程，因此需要求解的变量也增加了三个：Φ₁、Φ₂ 和 Φ。通过比较电学方程和磁学方程，可以推导出这些参数之间的关系。

$L_{1} = N_{1}^{2} (\frac{1}{R_{c}} + \frac{1}{R_{1}})$

$L_{2} = N_{2}^{2} (\frac{1}{R_{c}} + \frac{1}{R_{2}})$

$k = \frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{R_{c}}{R_{1}}) (1 + \frac{R_{c}}{R_{2}})}}$

定义性电气方程（方程 9、10 和 11）仅适用于 k 的数值小于 1 的情况。当耦合系数的大小精确为 1 时，必然仅存在一个微分方程，但方程 9 和方程 10 定义了两个方程。要理解其原因，您需要重新审视磁畴方程。假设漏磁阻 R₁ 和 R₂ 非常大，这对应于 k = 1，方程 5-7 可简化为：

$N_{1} i_{1} + R_{c} ϕ_{1} + N_{2} i_{2} = 0$

$ϕ_{1} = ϕ_{2} .$

结合这些方程与方程 3 和 4，可得出描述输入与输出电压关系的理想变压器方程：

$\frac{v_{1} - i_{1} r_{1}}{v_{2} - i_{2} r_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} .$

对第一个方程求导，得

$N_{1} \frac{d i_{1}}{d t} + R_{c} \frac{d ϕ_{1}}{d t} + N_{2} \frac{d i_{2}}{d t} = 0.$

利用方程 3 消去方程中的 Φ₁，得到

$N_{1} \frac{d i_{1}}{d t} + R_{c} \frac{- (v_{1} - i_{1} r_{1})}{N_{1}} + N_{2} \frac{d i_{2}}{d t} = 0.$

现在，将此方程重新排列，得到

$\frac{v_{1} - i_{1} r_{1}}{v_{2} - i_{2} r_{2}} = \sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}} .$

因此，对于完美耦合情况（即 k = 1），两个电场域方程为：

\frac{v_{1} - i_{1} r_{1}}{v_{2} - i_{2} r_{2}} = \sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}

(12)

v_{1} - i_{1} r_{1} = L_{1} \frac{d i_{1}}{d t} + \sqrt{L_{1} L_{2}} \frac{d i_{2}}{d t} .

(13)

两组电学方程（方程 9-10 与方程 12-13）均与磁力学方程一致。

Mutual Inductor 模块：

将两组绕组电气隔离，使 DC 电流无法通过路径。
对连接到绕组的每个电路呈现感应阻抗。
当次级开路时，初级端呈现阻抗为 L₁。
当初级线圈开路时，次级线圈呈现阻抗为 L₂。

在完美耦合的情况下，仅存在一个微分方程及相应的时常。

仅改变 k 而不改变 L₁ 和 L₂，仅能减少磁泄漏，而不会改变磁芯磁通路径的属性。要将耦合系数设置为 1 同时保持正确的低频特性（阻隔 DC），请使用 Simscape Foundation Library 中的 Mutual Inductor 模块，并选择完美耦合 - 无泄漏参数。

标准变压器方程与 Ideal Transformer 模块

标准变压器方程组基于简化假设，即变压器的主磁路径中磁阻可忽略不计。因此，磁芯磁阻 R_c 为零，等效磁路简化为：

Equivalent magnetic circuit for a standard two-winding transformer model which has negligible core reluctance. Two Fundamental Reluctance blocks, in parallel with the primary and secondary windings, model the leakage reluctances.

方程 5、6 和 7 可简化为：

$ϕ_{2} = ϕ_{1} + \frac{N_{1} i_{1}}{R}$

$F_{1} = - F_{2},$

，其中 $R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ 。

求解方程 Φ₂ 的导数，得到

$\frac{d ϕ_{2}}{d t} = \frac{d ϕ_{1}}{d t} + \frac{N_{1}}{R} \frac{d i_{1}}{d t} .$

。

利用方程 3 和方程 4 消除本方程中的 Φ₁ 和 Φ₂，得到

$\frac{- (v_{2} - i_{2} r_{2})}{N_{2}} = \frac{- (v_{1} - i_{1} r_{1})}{N_{1}} + \frac{N_{1}}{R} \frac{d i_{1}}{d t} .$

。

将此方程变形得到：

$v_{2} - i_{2} r_{2} = \frac{N_{2}}{N_{1}} (v_{1} - i_{1} r_{1} - \frac{N_{1}^{2}}{R} \frac{d i_{1}}{d t}) .$

将 F₁ 和 F₂ 代入方程 F₁ = -F₂，并运用方程 1 和方程 2，可得：

$N_{1} i_{1} = - N_{2} i_{2} .$

最后这两个方程是标准变压器方程。该图显示了等效电路：

Equivalent electrical circuit for a standard two-winding transformer model which has negligible core reluctance. An Inductor block connects to the primary winding positive terminal of an Ideal Transformer block.

其中 $L_{T} = \frac{N_{1}^{2} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} R_{2}}$ 。

Ideal Transformer 模块未建模漏感 L_T。此简化仅得出以下两条方程：

$N_{1} i_{1} = - N_{2} i_{2}$

$\frac{v_{2} - i_{2} r_{2}}{v_{1} - i_{1} r_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} .$

等效磁路可简化为：

Equivalent magnetic circuit for a two-winding transformer with negligible core reluctance and infinite leakage reluctance. The primary and secondary windings connect in a closed loop with no Fundamental Reluctance blocks.

总结如下：

标准变压器方程忽略了磁芯磁阻。在 Simscape 中，忽略磁芯磁阻相当于通过将 Inductor 模块连接至 Ideal Transformer 模块初级绕组正端来建模变压器。
标准变压器模型无法实现两个连接电路的电气隔离，从而为 DC 电提供了路径。这条路径是非物理性的，会形成一条实际上并不存在的接地路径。

当一个绕组开路时，对另一个绕组进行阻抗测试，标准变压器模型与互感线圈模型的测试结果存在差异。标准变压器模型呈现无限阻抗，而互感器模型则呈现有限阻抗。

Ideal Transformer 模块采用标准变压器方程的特殊情况，该情况未建模漏感。

Nonlinear Transformer 模块

Nonlinear Transformer 模块代表一个具有非理想磁芯的变压器。该图展示了一个等效电路。

Equivalent electrical circuit for the Nonlinear transformer block. Resistor and Inductor blocks connect in series with the primary and secondary winding positive terminals of an Ideal Transformer block. A Resistor and Nonlinear Inductor block connect in parallel with the primary terminals of the Ideal Transformer block.

在本图中：

r₁ 是初级绕组电阻。
L₂ 是主要漏感。
r₂ 是次级绕组电阻。
L₂ 是次级漏感。
r_m 是励磁电阻。
L_m 是励磁电感。

Nonlinear Transformer 模块通过励磁电感 Lm 建模磁芯磁阻。开路次级绕组的输入阻抗是初级绕组漏感与励磁电感之和。Nonlinear Transformer 模块不传输 DC 电，因为 Lm 在 DC 状态下表现为短路，导致初级绕组短路。

选择正确的模块

本表总结了磁学与电学方程的分析结果，将变压器模块归类为三组模型：互感器、理想变压器和非线性变压器。请使用此表格确定您需要哪种模型。

模型	模块	库	对磁芯磁阻建模	传输 DC	开路次级侧的输入阻抗	应用
互感器	Mutual Inductor	Simscape Foundation Library	是	否	L₁	音频、射频及开关电源转换器中，当互感器的阻抗对电路正常工作产生影响时。
	Mutual Inductor	Simscape Electrical 库
	Three-Winding Mutual Inductor	Simscape Electrical 库
理想变压器	Ideal Transformer	Simscape Foundation Library	否	是	无限	AC 电源和电源转换器。此模块不支持分析绕组与电路断开连接的情况。
理想变压器	Ideal Transformer 与连接至主绕组正极端的 Inductor	Simscape Foundation Library	否	是	无限	AC 电源和电源转换器。此模块不支持分析绕组与电路断开连接的情况。
非线性变压器	Nonlinear Transformer	Simscape Electrical 库	是	否	L₁ + L_m	AC 电源与电源转换器
非线性变压器	Three-Winding Nonlinear Transformer	Simscape Electrical 库	是	否	L₁ + L_m	AC 电源与电源转换器

有关 Simscape Foundation Library 中的互感器和 Ideal Transformer 模块及其对应磁路的信息，请参阅A Comparison of the Mutual Inductor and Ideal Transformer Library Blocks。

互感器模型

本表比较了采用互感器模型的电路模块。使用此表为完美耦合 - 无泄漏参数选择模块和选项。该选择取决于变压器的绕组数量、是否需要建模绕组漏磁，以及是否需要硬件在环 (HIL) 测试。

模块	库	绕组数	完美耦合 - 无泄漏参数值	对绕组漏磁建模	适用于硬件在环仿真（避免快速时间常数）
Mutual Inductor	Simscape Foundation Library	二	`Off`	是	不，如果 k 接近 1
Mutual Inductor	Simscape Foundation Library	二	`On`	否	是
Mutual Inductor	Simscape Electrical 库	二	N/A	是	不，如果 k 接近 1
Three-Winding Mutual Inductor	Simscape Electrical 库	三	`Off`	是	不，如果 k 接近 1
Three-Winding Mutual Inductor	Simscape Electrical 库	三	`On`	否	是

Simscape Foundation Library 中的 Mutual Inductor 模块与 Three-Winding Mutual Inductor 模块支持完美耦合。要将耦合系数设置为 1，同时保持正确的低频特性并阻隔 DC，请选择完美耦合 - 无泄漏参数。若需对双绕组互感器模型进行理想耦合仿真，请使用 Simscape Foundation Library 中的 Mutual Inductor 模块。

Simscape Electrical 库中的 Mutual Inductor 模块建模了初级和次级绕组的等效串联电阻与并联泄漏路径，而 Simscape Foundation Library 中的 Mutual Inductor 模块则不具备此功能。Simscape Electrical 模块还提供容差、故障和操作限值的可选模型的选项。

理想与非线性变压器建模

本表比较了采用理想变压器模型与非线性变压器模型的电路模块。根据您是否需要建模绕组漏磁以及是否需要 HIL 测试，使用此表选择相应的模块。

模块	库	绕组数	对绕组漏磁建模	适用于硬件在环仿真（避免快速时间常数）
Ideal Transformer	Simscape Foundation Library	二	否	是
Ideal Transformer 与连接至主绕组正极端的 Inductor	Simscape Foundation Library	二	是	不，如果漏感与所接电路阻抗之比相对于采样时间而言很小。
Nonlinear Transformer	Simscape Electrical 库	二	是	不，如果漏感与所接电路阻抗之比相对于采样时间而言很小。
Three-Winding Nonlinear Transformer	Simscape Electrical 库	三	是	不，如果漏感与所接电路阻抗之比相对于采样时间而言很小。

另请参阅

Mutual Inductor | Three-Winding Mutual Inductor | Ideal Transformer | Nonlinear Transformer | Three-Winding Nonlinear Transformer

主题

A Comparison of the Mutual Inductor and Ideal Transformer Library Blocks