sinc

创建符号变量 x 的 sinc 函数。

syms x
sinc(x)

ans = 
$$\frac{\sin \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x\hspace{0.17em}\pi }$$

证明 sinc 在输入为 0 时返回 1，在输入为其他整数时返回 0，在输入为其他值时返回精确的符号值。

V = sym([-1 0 1 3/2]);
S = sinc(V)

S = 
$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -\frac{2}{3\hspace{0.17em}\pi }\end{array}\right)$$

使用 vpa 将精确的符号输出转换为高精度浮点数。

vpa(S)

ans = $$\left(\begin{array}{cccc}0& 1.0& 0& -0.21220659078919378102517835116335\end{array}\right)$$

尽管 sinc 可能出现在傅里叶变换表中，但 fourier 不会在输出中返回 sinc。

证明脉冲的 fourier 变换可以用 sin 和 cos 表示。

syms x
fourier(rectangularPulse(x))

ans = 
$$\frac{\sin \left(\frac{w}{2}\right)+\cos \left(\frac{w}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}-\frac{-\sin \left(\frac{w}{2}\right)+\cos \left(\frac{w}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}$$

证明 sinc 的 fourier 变换可以用 heaviside 表示。

fourier(sinc(x))

ans = 
$$\frac{\pi \hspace{0.17em}\mathrm{heaviside}\left(\pi -w\right)-\pi \hspace{0.17em}\mathrm{heaviside}\left(-w-\pi \right)}{\pi }$$

使用 fplot 绘制正弦函数。

syms x
fplot(sinc(x))

使用 rewrite 将 sinc 函数重写为指数函数 exp。

syms x
rewrite(sinc(x),'exp')

ans = 
$$\frac{\frac{{\mathrm{e}}^{-\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}}{x\hspace{0.17em}\pi }$$

分别使用函数 diff、int 和 taylor 对 sinc 进行求导、积分和展开。

对 sinc 求导。

syms x
diff(sinc(x))

ans = 
$$\frac{\cos \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x}-\frac{\sin \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x^2\hspace{0.17em}\pi }$$

计算 sinc 从 -Inf 到 Inf 的积分。

int(sinc(x),[-Inf Inf])

ans = $$1$$

计算 sinc 从 -Inf 到 x 的积分。

int(sinc(x),-Inf,x)

ans = 
$$\frac{\mathrm{sinint}\left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{\pi }+\frac{1}{2}$$

求 sinc 的泰勒展开式。

taylor(sinc(x))

ans = 
$$\frac{{\pi }^4\hspace{0.17em}{x}^4}{120}-\frac{{\pi }^2\hspace{0.17em}{x}^2}{6}+1$$

将恒等式定义为一个条件，并使用 isAlways 函数来检查该条件，从而证明该恒等式。

证明恒等式 $\text{sinc}\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}$。

syms x
cond = sinc(x) == 1/(gamma(1+x)*gamma(1-x));
isAlways(cond)

ans = logical
   1