taylor

泰勒级数

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语法

T = taylor(f,var)

T = taylor(f,var,a)

T = taylor(___,Name=Value)

说明

T = taylor(f,var) 使用 f 在点 var = 0 处的泰勒级数展开（展开至五阶）来逼近 f。如果您不指定 var，则 taylor 会使用由 symvar(f,1) 确定的默认变量。

示例

T = taylor(f,var,a) 使用 f 在点 var = a 处的泰勒级数展开来逼近 f。

示例

除了上述语法中的任意输入参量组合之外，T = taylor(___,Name=Value) 还使用一个或多个名称-值参量来指定选项。例如，您可以指定泰勒级数展开的展开点、截断阶数或阶数模式。

示例

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求单变量表达式的麦克劳林级数

打开实时脚本

求指数函数、正弦函数和余弦函数的麦克劳林级数展开（展开至五阶）。

syms x
T1 = taylor(exp(x))

T1 = 
 $\frac{x^{5}}{120} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

T2 = taylor(sin(x))

T2 = 
 $\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x$

T3 = taylor(cos(x))

T3 = 
 $\frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

您可以使用 sympref 函数来修改符号多项式的输出顺序。按升序重新显示多项式。

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T1

T1 = 
 $1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120}$

T2

T2 = 
 $x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$

T3

T3 = 
 $1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}$

使用 sympref 设置的显示格式会在当前和以后的 MATLAB® 会话中持续有效。通过指定 "default" 选项恢复默认值。

sympref("default");

指定展开点

打开实时脚本

求这些函数在 $x = 1$ 处的泰勒级数展开。默认展开点为 0。要指定其他展开点，请使用 ExpansionPoint。

syms x
T = taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1)

T = 
 $x - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} - \frac{{(x - 1)}^{4}}{4} + \frac{{(x - 1)}^{5}}{5} - 1$

或者，将展开点指定为 taylor 的第三个参量。

T = taylor(acot(x),x,1)

T = 
 $\frac{π}{4} - \frac{x}{2} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{3}}{12} + \frac{{(x - 1)}^{5}}{40} + \frac{1}{2}$

指定截断阶数

打开实时脚本

求 f = sin(x)/x 的麦克劳林级数展开。默认截断阶数为 6。此表达式的泰勒级数逼近没有五次项，因此 taylor 使用四次多项式逼近此表达式。

syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f,x);

使用 Order 控制截断阶数。例如，用 7 阶和 9 阶逼近该同一表达式。

T8 = taylor(f,x,Order=8);
T10 = taylor(f,x,Order=10);

绘制原始表达式 f 及其逼近 T6、T8 和 T10。注意逼近的准确度如何依赖于截断阶数。

fplot([T6 T8 T10 f])
xlim([-4 4])
grid on
legend("approximation of sin(x)/x with error O(x^6)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^8)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^{10})", ...
       "sin(x)/x",Location="Best")
title("Taylor Series Expansion")

$Figure contains an axes object. The axes object with title Taylor Series Expansion contains 4 objects of type functionline. These objects represent approximation of sin(x)/x with error O(x^6), approximation of sin(x)/x with error O(x^8), approximation of sin(x)/x with error O(x^{10}), sin(x)/x.$

将截断阶数指定为相对阶数或绝对阶数

打开实时脚本

求以下表达式的泰勒级数展开。默认情况下，taylor 使用绝对阶数，即计算所得级数的截断阶数。

syms x
T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5)

T = 
 $- \frac{x^{3}}{3}$

使用 OrderMode 求具有相对截断阶数的泰勒级数展开。对于某些表达式，相对截断阶数可提供更准确的逼近。

T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5,OrderMode="relative")

T = 
 $- \frac{x^{7}}{2520} - \frac{x^{5}}{60} - \frac{x^{3}}{3}$

求多元表达式的麦克劳林级数

打开实时脚本

求以下多元表达式的麦克劳林级数展开。如果您不指定变量向量，taylor 会将 f 视为包含一个自变量的函数。

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f)

T = 
 $\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x + \cos (y) + e^{z}$

通过指定变量向量来求多元麦克劳林级数展开。

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f,[x,y,z])

T = 
 $\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x + \frac{y^{4}}{24} - \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{5}}{120} + \frac{z^{4}}{24} + \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{2}}{2} + z + 2$

您可以使用 sympref 函数来修改符号多项式的输出顺序。按升序重新显示多项式。

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T

T = 
 $2 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{4}}{24} + \frac{z^{5}}{120} - \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{24} + x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$

使用 sympref 设置的显示格式会在当前和以后的 MATLAB 会话中持续有效。通过指定 "default" 选项恢复默认值。

sympref("default");

指定多元表达式的展开点

打开实时脚本

通过同时指定变量向量和定义展开点的值向量，求多元泰勒级数展开。

syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f,[x y],[1 1],Order=3)

T = 
 $x + \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2}$

如果您将展开点指定为标量 a，taylor 会将该标量转换为与变量向量长度相同的向量。展开向量的所有元素都等于 a。

T = taylor(f,[x y],1,Order=3)

T = 
 $x + \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2}$

泰勒逼近中的误差估计

打开实时脚本

求在使用泰勒级数展开逼近函数 $f (x) = \log (x + 1)$ 时的误差估计。此处，假设计算在展开点 $a = 0$ 处的 7 阶泰勒逼近（截断阶数 $n = 8$ ）。

泰勒逼近的误差（余项）由拉格朗日形式给出：

$R_{n - 1} (x) = \frac{f^{n} (c)}{n!} {(x - a)}^{n} .$

误差估计的上界可通过求正实数 $M$ 来计算，使得所有介于 $a$ 和 $x$ 之间的 $c$ 均满足 $| f^{n} (c) | \leq M$ 。

通过将 Order 指定为 8，求函数 $f (x) = \log (x + 1)$ 的 7 阶泰勒级数展开。

syms x
f = log(x+1)

f =  $\log (x + 1)$

T = taylor(f,Order=8)

T = 
 $\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x$

为了估计泰勒逼近中的误差，首先计算项 $f^{8} (c)$ 。

syms c
fn(c) = subs(diff(f,8),x,c)

fn(c) = 
 $- \frac{5040}{{(c + 1)}^{8}}$

对于正的 $x$ 值，可以通过使用关系 $| f^{8} (c) | \leq 5040$ 来计算误差估计的上界（因为 $c$ 必须是介于 $0$ 和正数 $x$ 之间的正值）。然后，使用拉格朗日形式 $R_{7} (x)$ 和关系 $| f^{8} (c) | \leq 5040$ 求误差估计的上界 Rupper(x)。

Rupper(x) = 5040*x^8/factorial(8)

Rupper(x) = 
 $\frac{x^{8}}{8}$

计算点 $x = 0.5$ 处的泰勒级数展开。求泰勒逼近中误差估计的上界。

Teval = subs(T,x,0.5)

Teval = 
 $\frac{909}{2240}$

Rmax = double(Rupper(0.5))

Rmax = 
4.8828e-04

为进行比较，计算 $x = 0.5$ 处的精确函数值，并求泰勒逼近中的余项。

feval = subs(f,x,0.5)

feval = 
 $\log (\frac{3}{2})$

R = double(abs(feval-Teval))

R = 
3.3846e-04

输入参数

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`f` — 要逼近的输入
符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号多维数组

要逼近的输入，指定为符号表达式或符号函数。也可以是由符号表达式或符号函数组成的向量、矩阵或多维数组。

`var` — 展开变量
符号变量

展开变量，指定为符号变量。如果您不指定 var，则 taylor 会使用由 symvar(f,1) 确定的默认变量。

`a` — 展开点
0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

展开点，指定为数字、符号数、符号变量、符号函数或符号表达式。展开点不能依赖于展开变量。您也可以将展开点指定为名称-值参量。如果以两种方式同时指定展开点，则名称-值参量优先。

名称-值参数

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将可选参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1,Order=9)

如果使用的是 R2021a 之前的版本，请使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

`ExpansionPoint` — 展开点
0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

展开点，指定为数字、符号数、符号变量、符号函数或符号表达式。展开点不能依赖于展开变量。您也可以使用输入参量 a 来指定展开点。如果以两种方式同时指定展开点，则名称-值参量优先。

`Order` — 泰勒级数展开的截断阶数
6 (默认) | 正整数 | 符号正整数

泰勒级数展开的截断阶数，指定为正整数或符号正整数。taylor 计算阶数为 n - 1 的泰勒级数逼近。截断阶数 n 是 O 项中的指数：O(varⁿ)。

`OrderMode` — 阶数模式指示符
`"absolute"` (默认) | `"relative"`

阶数模式指示符，指定为 "absolute" 或 "relative"。该指示符指定计算泰勒多项式逼近时使用绝对阶数还是相对阶数。

绝对阶数是指计算所得级数的截断阶数。相对阶数 n 是指计算所得级数中 var 的指数范围从首项阶数 m 到最高指数 m + n - 1。其中 m + n 是 O 项中 var 的指数：O(var^{m + n})。

详细信息

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泰勒级数展开

泰勒级数展开将解析函数 f(x) 表示为以展开点 x = a 为中心的各项的无穷和：

$f (x) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \dots = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{f^{(m)} (a)}{m!} \cdot {(x - a)}^{m}$

泰勒级数展开要求函数在展开点处具有无穷阶导数。

麦克劳林级数展开

在以 x = 0 为中心的泰勒级数展开称为麦克劳林级数展开：

$f (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{f^{(m)} (0)}{m!} x^{m}$

提示

如果您同时使用第三个参量 a 和 ExpansionPoint 来指定展开点，则以 ExpansionPoint 指定的值为准。
如果 var 是向量，则展开点 a 必须是标量或与 var 长度相同的向量。如果 var 是向量而 a 是标量，则将 a 扩展为与 var 长度相同的向量，且所有元素均等于 a。
如果展开点为无穷大或负无穷大，则 taylor 会计算洛朗级数展开，即关于 1/var 的幂级数。
您可以使用 sympref 函数来修改符号多项式的输出顺序。
如果 taylor 无法求泰勒级数展开，可使用 series 求更通用的皮瑟级数展开。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

主题

Taylor Series

taylor

语法

说明

示例

求单变量表达式的麦克劳林级数

指定展开点

指定截断阶数

将截断阶数指定为相对阶数或绝对阶数

求多元表达式的麦克劳林级数

指定多元表达式的展开点

泰勒逼近中的误差估计

输入参数

f — 要逼近的输入 符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号多维数组

var — 展开变量 符号变量

a — 展开点 0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

名称-值参数

ExpansionPoint — 展开点 0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

Order — 泰勒级数展开的截断阶数 6 (默认) | 正整数 | 符号正整数

OrderMode — 阶数模式指示符 "absolute" (默认) | "relative"

详细信息

泰勒级数展开

麦克劳林级数展开

提示

版本历史记录

另请参阅

主题

`f` — 要逼近的输入
符号表达式 | 符号函数 | 符号向量 | 符号矩阵 | 符号多维数组

`var` — 展开变量
符号变量

`a` — 展开点
0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

`ExpansionPoint` — 展开点
0 (默认) | 数字 | 符号数 | 符号变量 | 符号函数 | 符号表达式

`Order` — 泰勒级数展开的截断阶数
6 (默认) | 正整数 | 符号正整数

`OrderMode` — 阶数模式指示符
`"absolute"` (默认) | `"relative"`