対数積分の計算について,About Logarithmic integral function

質問で記載した予想される答えは著書 “素数に憑かれた人たち ~リーマン予想への挑戦~”John Derbyshire (著), 松浦俊輔 (著) のP391で同じ計算を行っており、 li(20^(1/2+14.134725i))=li(-0.302303-4.46191i)の解は-0.105384+3.14749iと記載されています。また著書では、共役となるli(20^(1/2-14.134725i))=li(-0.302303+4.46191i)を計算しており、解は-0.105384-3.14749iと記載されています。また著書では、以上の式を合計するとli(20^(1/2+14.134725i))+li(20^(1/2-14.134725i))となり解は-0.210768と記載されています。

しかし、matlabでlogint(20^(1/2+14.134725i))+logint(20^(1/2-14.134725i))の計算は 3.9959となります。

また、この計算の近似式があり、 Some Calculations Related to Riemann's Prime Number Formula By Hans Riesel and Gunnar Gobi

http://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf

の論文の式(13)を使い、 li(20^(1/2+14.134725i))+li(20^(1/2-14.134725i))の近似式をmatlabで表現すると

2*sqrt(20)/abs(1/2+14.134725i)/log(20)*cos(14.134725*log(20)-angle(1/2+14.134725i))

となり解は -0.2110となり、著書の答えと小数点第2位まで等しい値となります。

よろしくお願いします。

michio 2018-1-17

よかったです。対数積分について私も勉強になりました。ありがとうございました。

Yoshio 2018-1-23

编辑：Yoshio 2018-1-25

在 MATLAB Online 中打开

format long コマンドを使って計算結果を見て頂くと、

>>format long 
>>ei((1/2+14.134725*i)*log(20)) 
ans =
-0.105384042414102 + 3.147487521958689i
>>ei((1/2+14.134725*i)*log(20))+ei((1/2-14.134725*i)*log(20))
ans =
-0.210768084828204

となり小数点以下6桁（入力引数の精度）まで一致していることが確認できます。

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