care

（不推荐）求解连续时间代数黎卡提方程

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不推荐使用 care。请改用 icare。有关详细信息，请参阅版本历史记录。

语法

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)
[X,L,G] = care(A,B,Q)
[X,L,G,report] = care(___)
[X1,X2,D,L] = care(___,'factor')

说明

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E) 求解一般黎卡提方程：

ATXE+ETXA−(ETXB+S)R−1(BTXE+ST)+Q=0

除了给出解 X 之外，care 还返回增益矩阵 G 和闭环特征值向量 L。

示例

[X,L,G] = care(A,B,Q) 计算连续时间代数黎卡提方程的唯一解 X：

ATX+XA−XBBTX+Q=0

[X,L,G,report] = care(___) 还返回诊断报告。

当 X 不存在时，此语法不会发出任何错误消息。

[X1,X2,D,L] = care(___,'factor') 返回黎卡提方程的因式分解解。

示例

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此示例说明如何求解以下黎卡提方程：

ATX+XA−XBR−1BTX+CTC=0

给定

A=[−3211]  B=[01]  C=[1−1]  R=3

定义矩阵并求解方程。

a = [-3 2;1 1]
b = [0 ; 1]
c = [1 -1]
r = 3
[x,l,g] = care(a,b,c'*c,r)

x =

    0.5895    1.8216
    1.8216    8.8188


l =

   -1.4370
   -3.5026


g =

    0.6072    2.9396

您可以通过比较 a 和 a-b*g 的特征值来验证此解是否确实是稳定的。

[eig(a)   eig(a-b*g)]
ans =
   -3.4495   -3.5026
    1.4495   -1.4370

最后，请注意变量 l 包含闭环特征值 eig(a-b*g)。

此示例说明如何求解类 H∞ 黎卡提方程

ATX+XA+X(γ−2B1B1T−B2B2T)X+CTC=0

您可以采用 care 支持的格式改写该方程，如下所示：

ATX+XA−X [B1,B2]︸B  [−γ2I00I]︸R−1[B1TB2T]X+CTC=0

对于任何给定的输入矩阵，您现在可以通过以下定义计算稳定解 X

B = [B1 , B2]
m1 = size(B1,2)
m2 = size(B2,2)
R = [-g^2*eye(m1) zeros(m1,m2) ; zeros(m2,m1) eye(m2)]

X = care(A,B,C'*C,R)

输入参数

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输入矩阵，指定为矩阵。当您省略 R、S 和 E 时，该函数使用默认值 R = I、S = 0 和 E = I。

输出参量

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连续时间代数黎卡提方程的解，以矩阵形式返回。

当相关联的汉密尔顿矩阵在虚轴上有特征值时，care 会为 X 返回 []。

闭环特征值，以矩阵形式返回。

闭环特征值 L 的计算公式如下：

L=eig(A-B*G,E)

状态反馈增益，以矩阵形式返回。

状态反馈增益 G 的计算公式如下：

G=R−1(BTXE+ST)

当相关联的汉密尔顿矩阵在虚轴上有特征值时，care 会为 G 返回 []。

诊断报告，以标量形式返回，取值为以下值之一：

  • -1，当相关联的汉密尔顿矩阵束在虚轴上或非常接近虚轴处有特征值时（失败）。

  • -2，当不存在有限稳定解 X 时。

  • 相对残差的 Frobenius 范数，当 X 存在且有限时。

因式分解解矩阵，以矩阵形式返回。该函数返回 X1、X2 和对角缩放矩阵 D，使得 X = D(X1/X2)D 成立。

当相关联的汉密尔顿矩阵在虚轴上有特征值时，care 将 X1、X2 和 D 返回为空。

限制

(A,B) 对组必须是可稳定的（即，所有不稳定模式都是可控的）。此外，相关联的汉密尔顿矩阵或矩阵束在虚轴上不得有特征值。满足此限制的充分条件是，当 S=0 且 R>0 时，(Q,A) 可检测到，或者

[QSSTR]>0

算法

care 实现 [1] 中描述的算法。当 R 条件良好且 E=I 时，它使用汉密尔顿矩阵进行处理；否则，它使用扩展汉密尔顿矩阵束和 QZ 算法。

参考

[1] Arnold, W.F., and A.J. Laub. “Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations.” Proceedings of the IEEE 72, no. 12 (1984): 1746–54. https://doi.org/10.1109/PROC.1984.13083.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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