covar

白噪声驱动系统的输出与状态协方差

语法

P = covar(sys,W) [P,Q] = covar(sys,W)

说明

covar 计算 LTI 模型 sys 在高斯白噪声输入 w 驱动下，其输出 y 的稳态协方差。此函数对连续时间系统和离散时间系统都适用。

P = covar(sys,W) 返回稳态输出响应协方差

$P = E (y y^{T})$

其中噪声强度满足：

$\begin{matrix} E (w (t) w {(τ)}^{T}) = W δ (t - τ) & (continuous time) \\ E (w [k] w {[l]}^{T}) = W δ_{k l} & (discrete time) \end{matrix}$

[P,Q] = covar(sys,W) 还返回稳态状态协方差

$Q = E (x x^{T})$

在 sys 是状态空间模型的情况下（否则，Q 会被设置为 []）。

当应用于 N 维 LTI 数组 sys 时，covar 返回多维数组 P、Q，其中

P(:,:,i1,...iN) 和 Q(:,:,i1,...iN) 分别为模型 sys(:,:,i1,...iN) 的协方差矩阵。

示例

计算离散时间 SISO 系统的输出响应协方差

$\begin{matrix} H (z) = \frac{2 z + 1}{z^{2} + 0.2 z + 0.5}, & T_{s} \end{matrix} = 0.1$

在强度为 W = 5 的高斯白噪声驱动下。类型

sys = tf([2 1],[1 0.2 0.5],0.1);
p = covar(sys,5)

这些命令产生以下结果。

p =
    30.3167

您可以将 covar 的此输出与仿真结果进行比较。

randn('seed',0)
w = sqrt(5)*randn(1,1000);  % 1000 samples

% Simulate response to w with LSIM:
y = lsim(sys,w);

% Compute covariance of y values
psim = sum(y .* y)/length(w);

这会得出

psim = 
    32.6269

由于仿真时域有限，两个协方差值 p 和 psim 并非完全一致。

算法

传递函数和零极点增益模型先通过 ss 转换为状态空间模型。

对于连续时间状态空间模型

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B w \\ y = C x + D w, \end{array}$

稳态状态协方差 Q 通过求解以下李雅普诺夫方程得到

$A Q + Q A^{T} + B W B^{T} = 0.$

在离散时间系统中，状态协方差 Q 通过求解以下离散李雅普诺夫方程得到

$A Q A^{T} - Q + B W B^{T} = 0.$

无论是在连续时间系统中还是在离散时间系统中，输出响应协方差均由公式 P = CQC^T + DWD^T 给出。对于不稳定系统，P 和 Q 为无穷大。对于含非零馈通的连续时间系统，covar 返回的输出协方差 P 为 Inf。

参考资料

[1] Bryson, A.E. and Y.C. Ho, Applied Optimal Control, Hemisphere Publishing, 1975, pp. 458-459.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

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