lyap

连续李雅普诺夫方程解

语法

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

说明

lyap 求解李雅普诺夫方程的特殊形式和一般形式。李雅普诺夫方程出现在多个控制领域，包括系统的稳定性理论和 RMS 行为研究。

X = lyap(A,Q) 求解李雅普诺夫方程

$A X + X A^{T} + Q = 0$

其中 A 和 Q 表示相同大小的方阵。如果 Q 是对称矩阵，则 X 的解也是对称矩阵。

X = lyap(A,B,C) 求解西尔维斯特方程

$A X + X B + C = 0$

矩阵 A、B 和 C 必须具有兼容维度，但不必是方阵。

X = lyap(A,Q,[],E) 求解广义李雅普诺夫方程

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

其中 Q 是对称矩阵。对于此函数，您必须使用空方括号 []。如果方括号内有任何值，函数将出错。

限制

如果 A 的特征值 $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ 和 B 的特征值 $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ 满足如下条件，则连续李雅普诺夫方程具有唯一解：

$α_{i} + β_{j} \neq 0$

如果违反此条件，lyap 会生成错误消息：

Solution does not exist or is not unique.

示例

示例 1

求解李雅普诺夫方程

求解李雅普诺夫方程

$A X + X A^{T} + Q = 0$

其中

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

A 矩阵是稳定矩阵，Q 矩阵是正定矩阵。

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

这些命令返回以下 X 矩阵：

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

您可以通过计算特征值来查看 X 是否为正定矩阵。

eig(X)

该命令返回以下结果：

ans =

    0.4359
    8.7308

示例 2

求解西尔维斯特方程

求解西尔维斯特方程

$A X + X B + C = 0$

其中

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}]$

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

这些命令返回以下 X 矩阵：

X =

   -0.2000   -0.0500

算法

lyap 对李雅普诺夫方程使用 SLICOT 例程 SB03MD 和 SG03AD，对西尔维斯特方程使用 SB04MD (SLICOT) 和 ZTRSYL (LAPACK)。

参考

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE^® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

covar | dlyap

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