什么是传递函数模型？

传递函数模型的定义

传递函数模型使用多项式的比率描述系统输入和输出之间的关系。模型阶数等于分母多项式的阶数。分母多项式的根称为模型极点。分子多项式的根称为模型零点。

传递函数建模的参数包括其极点、零点和传输延迟。

连续时间表示

在连续时间中，传递函数模型的形式为：

$Y (s) = \frac{n u m (s)}{d e n (s)} U (s) + E (s)$

其中，Y (s)、U (s) 和 E (s) 分别表示输出、输入和噪声的拉普拉斯变换。num (s) 和 den (s) 分别表示定义输入与输出之间关系的分子和分母多项式。

离散时间表示

在离散时间中，传递函数模型的形式为：

$\begin{array}{l} y (t) = \frac{n u m (q^{- 1})}{d e n (q^{- 1})} u (t) + e (t) \\ n u m (q^{- 1}) = b_{0} + b_{1} q^{- 1} + b_{2} q^{- 2} + \dots \\ d e n (q^{- 1}) = 1 + a_{1} q^{- 1} + a_{2} q^{- 2} + \dots \end{array}$

num (q^-1) 和 den (q^-1) 的根式通过滞后变量 q^-1 表示。

若采用 Z 变换，传递函数的形式为：

$\begin{array}{l} Y (z^{- 1}) = \frac{n u m (z^{- 1})}{d e n (z^{- 1})} U (z^{- 1}) + E (z^{- 1}) \\ n u m (z^{- 1}) = b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots \\ d e n (z^{- 1}) = 1 + a_{1} z^{- 1} + a_{2} z^{- 2} + \dots \end{array}$

其中，Y (z^-1)、U (z^-1) 和 E (z^-1) 分别表示输出、输入和噪声的 Z 变换。z^-1 是滞后算子的 Z 变换。

延迟

在连续时间中，输入和传输延迟的形式为：

$Y (s) = \frac{n u m (s)}{d e n (s)} e^{- s τ} U (s) + E (s)$

其中 τ 表示延迟。

在离散时间中：

$y (t) = \frac{n u m}{d e n} u (t - τ) + e (t)$

其中 num 和 den 是滞后算子 q^(-1) 的多项式。

多输入多输出模型

单输入单输出 (SISO) 连续传递函数的形式为 $G (s) = \frac{n u m (s)}{d e n (s)}$ 。相应的传递函数模型可表示为：

$Y (s) = G (s) U (s) + E (s)$

多输入多输出 (MIMO) 传递函数包含系统中每个输入输出对对应的单输入单输出 (SISO) 函数。例如，一个具有两个输入和两个输出的连续时间传递函数模型具有如下形式：

$\begin{array}{l} Y_{1} (s) = G_{11} (s) U_{1} (s) + G_{12} (s) U_{2} (s) + E_{1} (s) \\ Y_{2} (s) = G_{21} (s) U_{1} (s) + G_{22} (s) U_{2} (s) + E_{2} (s) \end{array}$

其中，G_ij(s) 是第 i^个输出与第 j^个输入之间的单输入单输出函数。E₁(s) 和 E₂(s) 是对应于两个输出的噪声的拉普拉斯变换。

离散时间 MIMO 传递函数建模方式与此类似。

另请参阅

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