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计算表面的切平面

此示例说明如何按有限差分逼近函数梯度。然后说明如何通过使用这些逼近的梯度,绘制平面上某个点的切平面。

使用函数句柄创建函数 f(x,y)=x2+y2

f = @(x,y) x.^2 + y.^2;

使用 gradient 函数,相对 xy 逼近 f(x,y) 的偏导数。选择与网格大小相同的有限差分长度。

[xx,yy] = meshgrid(-5:0.25:5);
[fx,fy] = gradient(f(xx,yy),0.25);

曲面上的点 P=(x0,y0,f(x0,y0)) 的切平面表示为

z=f(x0,y0)+f(x0,y0)x(x-x0)+f(x0,y0)y(y-y0).

fxfy 矩阵是偏导数 fxfy 的近似值。此示例中的相关点(即切平面与函数平面的接合点)为 (x0,y0) = (1,2)。此相关点位置的函数值为 f(1,2) = 5

为逼近切平面 z,您需要求取相关点的导数值。获取该点的索引,并求取该位置的近似导数。

x0 = 1;
y0 = 2;
t = (xx == x0) & (yy == y0);
indt = find(t);
fx0 = fx(indt);
fy0 = fy(indt);

使用切平面 z 的方程创建函数句柄。

z = @(x,y) f(x0,y0) + fx0*(x-x0) + fy0*(y-y0);

绘制原始函数 f(x,y)、点 P,以及在 P 位置与函数相切的平面 z 的片段。

surf(xx,yy,f(xx,yy),'EdgeAlpha',0.7,'FaceAlpha',0.9)
hold on
surf(xx,yy,z(xx,yy))
plot3(1,2,f(1,2),'r*')

查看侧剖图。

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