非负 ODE 解

本主题说明如何将 ODE 解约束为非负解。施加非负约束不一定总是可有可无，在某些情况下，由于方程的物理解释或解性质的原因，可能有必要施加非负约束。仅在必要时对解施加此约束，例如不这样做积分就会失败或者解将不适用的情况。

如果解的特定分量必须为非负，则使用 odeset 来设置这些分量的索引的 NonNegative 选项。此选项不适用于 ode23s、ode15i，也不适用于用来求解涉及质量矩阵的问题的隐式求解器（ode15s、ode23t、ode23tb）。特别是，不能对 DAE 问题施加非负性约束，DAE 问题一定有奇异质量矩阵。

示例：绝对值函数

考虑初始值问题

$y^{'} = - | y |,$

该问题使用初始条件 $y (0) = 1$ 在区间 $[0, 40]$ 上求解。此 ODE 的解将衰减到零。如果求解器生成负解值，则它会开始通过此值来跟踪 ODE 的解，随着计算得出的解逐渐发散为 $- \infty$ ，计算最终会失败。使用 NonNegative 选项可防止此积分失败。

将 $y (t) = e^{- t}$ 的解析解分别与使用不带额外选项的 ode45 得出的 ODE 解和设定 NonNegative 选项时得出的 ODE 解进行比较。

ode = @(t,y) -abs(y);

% Standard solution with |ode45|
options1 = odeset('Refine',1);
[t0,y0] = ode45(ode,[0 40],1,options1);

% Solution with nonnegative constraint
options2 = odeset(options1,'NonNegative',1);
[t1,y1] = ode45(ode,[0 40],1,options2);

% Analytic solution
t = linspace(0,40,1000);
y = exp(-t);

绘制这三个解进行比较。施加非负约束对于防止解向 $- \infty$ 发展至关重要。

plot(t,y,'b-',t0,y0,'ro',t1,y1,'k*');
legend('Exact solution','No constraints','Nonnegativity', ...
       'Location','SouthWest')

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers These objects represent Exact solution, No constraints, Nonnegativity.

示例：膝盖问题

另一个要求非负解的问题示例是在示例文件 kneeode 中编码的膝盖问题。方程是：

$ϵ y^{'} = (1 - x) y - y^{2},$

该问题使用初始条件 $y (0) = 1$ 在区间 $[0, 2]$ 上求解。通常采用参数 $ϵ$ 以满足 $0 < ϵ ≪ 1$ ，并且此问题使用 $ϵ = 1 \times 1 0^{- 6}$ 。此 ODE 的解在 $x < 1$ 时趋近于 $y = 1 - x$ ，在 $x > 1$ 时趋近于 $y = 0$ 。但通过使用默认容差计算数值解可以看到，解在整个积分区间中遵循 $y = 1 - x$ 等倾线。施加非负约束会得到正确的解。

在使用和不使用非负值约束两种条件下解算膝盖问题。

epsilon = 1e-6;
y0 = 1;
xspan = [0 2];
odefcn = @(x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;

% Solve without imposing constraints
[x1,y1] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);

% Impose a nonnegativity constraint
options = odeset('NonNegative',1);
[x2,y2] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);

绘制解进行比较。

plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'b*')
axis([0,2,-1,1])
title('The "knee problem"')
legend('No constraints','Non-negativity')
xlabel('x')
ylabel('y')

Figure contains an axes object. The axes object with title The "knee problem", xlabel x, ylabel y contains 2 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers These objects represent No constraints, Non-negativity.

参考

[1] Shampine, L.F., S. Thompson, J.A. Kierzenka, and G.D. Byrne, "Non-negative solutions of ODEs," Applied Mathematics and Computation Vol. 170, 2005, pp. 556-569.

另请参阅

odeset

非负 ODE 解

示例：绝对值函数

示例：膝盖问题

参考

另请参阅

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