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非负 ODE 解

本主题说明如何将 ODE 解约束为非负解。施加非负约束不一定总是可有可无,在某些情况下,由于方程的物理解释或解性质的原因,可能有必要施加非负约束。仅在必要时对解施加此约束,例如不这样做积分就会失败或者解将不适用的情况。

如果解的特定分量必须为非负,则使用 odeset 来设置这些分量的索引的 NonNegative 选项。此选项不适用于 ode23sode15i,也不适用于用来求解涉及质量矩阵的问题的隐式求解器(ode15sode23tode23tb)。特别是,不能对 DAE 问题施加非负性约束,DAE 问题一定有奇异质量矩阵。

示例:绝对值函数

考虑初始值问题

y=-|y|,

该问题使用初始条件 y(0)=1 在区间 [0,40] 上求解。此 ODE 的解将衰减到零。如果求解器生成负解值,则它会开始通过此值来跟踪 ODE 的解,随着计算得出的解逐渐发散为 -,计算最终会失败。使用 NonNegative 选项可防止此积分失败。

y(t)=e-t 的解析解分别与使用不带额外选项的 ode45 得出的 ODE 解和设定 NonNegative 选项时得出的 ODE 解进行比较。

ode = @(t,y) -abs(y);

% Standard solution with |ode45|
options1 = odeset('Refine',1);
[t0,y0] = ode45(ode,[0 40],1,options1);

% Solution with nonnegative constraint
options2 = odeset(options1,'NonNegative',1);
[t1,y1] = ode45(ode,[0 40],1,options2);

% Analytic solution
t = linspace(0,40,1000);
y = exp(-t);

绘制这三个解进行比较。施加非负约束对于防止解向 - 发展至关重要。

plot(t,y,'b-',t0,y0,'ro',t1,y1,'k*');
legend('Exact solution','No constraints','Nonnegativity', ...
       'Location','SouthWest')

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent Exact solution, No constraints, Nonnegativity.

示例:膝盖问题

另一个要求非负解的问题示例是在示例文件 kneeode 中编码的膝盖问题。方程是:

ϵy=(1-x)y-y2,

该问题使用初始条件 y(0)=1 在区间 [0,2] 上求解。通常采用参数 ϵ 以满足 0<ϵ1,并且此问题使用 ϵ=1×10-6。此 ODE 的解在 x<1 时趋近于 y=1-x,在 x>1 时趋近于 y=0。但通过使用默认容差计算数值解可以看到,解在整个积分区间中遵循 y=1-x 等倾线。施加非负约束会得到正确的解。

在使用和不使用非负值约束两种条件下解算膝盖问题。

epsilon = 1e-6;
y0 = 1;
xspan = [0 2];
odefcn = @(x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;

% Solve without imposing constraints
[x1,y1] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);

% Impose a nonnegativity constraint
options = odeset('NonNegative',1);
[x2,y2] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);

绘制解进行比较。

plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'b*')
axis([0,2,-1,1])
title('The "knee problem"')
legend('No constraints','Non-negativity')
xlabel('x')
ylabel('y')

Figure contains an axes. The axes with title The "knee problem" contains 2 objects of type line. These objects represent No constraints, Non-negativity.

参考

[1] Shampine, L.F., S. Thompson, J.A. Kierzenka, and G.D. Byrne, "Non-negative solutions of ODEs," Applied Mathematics and Computation Vol. 170, 2005, pp. 556-569.

另请参阅

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