浮点数

创建双精度数据

由于 MATLAB 的默认数值类型是 double 类型，因此可以用简单的赋值语句创建双精度浮点数。

x = 10;
c = class(x)

c =
   'double'

您可以使用 double 函数将数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为双精度值。例如，将有符号整数转换为双精度浮点数。

x = int8(-113);
y = double(x)

y =
   -113

创建单精度数据

要创建单精度数值，请使用 single 函数。

x = single(25.783);

还可以使用 single 函数将数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为单精度。例如，将有符号整数转换为单精度浮点数。

x = int8(-113);
y = single(x)

y =
   single
   -113

MATLAB 如何存储浮点数

默认情况下，MATLAB 根据 IEEE 格式构造其 double 和 single 浮点数据类型，并遵循就近舍入，偶数优先舍入模式。

浮点数 x 的形式如下：

其中：

s、f 和 e 分别由内存中有限数量的位确定，其中 f 和 e 取决于数据类型的精度。

存储 double 数需要 64 位，如下表所示。

存储 single 数需要 32 位，如下表所示。

最大和最小双精度值

分别使用 realmax 和 realmin 函数，找出可以用 double 数据类型表示的最大和最小正值。

m = realmax

m =
   1.7977e+308

n = realmin

n =
   2.2251e-308

realmax 和 realmin 返回规范化的 IEEE 值。将 realmax 和 realmin 乘以 -1 可求出最大和最小负值。大于 realmax 或小于 –realmax 的数值分别被视为正无穷值或负无穷值。

最大和最小单精度值

通过使用参量 "single" 调用 realmax 和 realmin 函数，求出可以用 single 数据类型表示的最大和最小正值。

m = realmax("single")

m =
   single
   3.4028e+38

n = realmin("single")

n =
   single
   1.1755e-38

将 realmax("single") 和 realmin("single") 乘以 –1 可求出最大和最小负值。大于 realmax("single") 或小于 –realmax("single") 的数值分别被视为正无穷值或负无穷值。

最大连续浮点整数

并非所有整数都可以用浮点数据类型表示。最大连续整数 x 是能精确表示的最大整数，所有小于或等于 x 的整数都能精确表示，但 x + 1 无法以浮点格式表示。flintmax 函数返回最大连续整数。例如，使用 flintmax 函数求出双精度浮点格式的最大连续整数，即 2⁵³。

x = flintmax

x =
   9.0072e+15

求出单精度浮点格式的最大连续整数，即 2²⁴。

y = flintmax("single")

y =
   single 
   16777216

当您将整数数据类型转换为浮点数据类型时，无法用浮点格式精确表示的整数会损失精度。flintmax 是浮点数，它小于使用相同位数的整数数据类型所能表示的最大整数。例如，双精度的 flintmax 是 2⁵³，而 int64 类型的最大值是 2⁶⁴ - 1。因此，将大于 2⁵³ 的整数转换为双精度会导致精度损失。

浮点数之间的间隔

您可以使用 eps 函数来确定连续浮点数之间的间隔大小。例如，计算 5 和下一个更大的双精度数之间的间距。

e = eps(5)

e =
   8.8818e-16

您无法以双精度格式表示 5 和 5 + eps(5) 之间的数值。如果双精度计算返回答案 5，则该结果精确到 eps(5) 范围内。此精度半径通常称为机器精度。

各浮点数之间的间隔并不相等。例如，1e10 和下一个更大的双精度数之间的间隔大于 5 和下一个更大的双精度数之间的间隔。

e = eps(1e10)

e =
   1.9073e-06

同样，求 5 和下一个更大的单精度数之间的间距。

x = single(5);
e = eps(x)

e = 
   single 
   4.7684e-07

单精度数之间的间隔大于双精度数之间的间隔，因为单精度数的数量较少。因此，单精度计算的结果不如双精度计算的结果精确。

当您将双精度数转换为单精度数时，可以使用 eps 函数来确定该数值舍入量的上界。例如，当您将双精度数 3.14 转换为单精度数时，该数值的最大舍入量为 eps(single(3.14))。

连续浮点整数之间的间隔

flintmax 函数以浮点格式返回最大连续整数。高于此值时，连续浮点整数的间隔大于 1。

使用 eps 求出 flintmax 和下一个浮点数之间的间隔：

format long
x = flintmax

x =
   9.007199254740992e+15

e = eps(x)

e =
   2

由于 eps(x) 为 2，因此可以精确表示的下一个更大的浮点数为 x + 2。

y = x + e

y =
   9.007199254740994e+15

如果将 1 与 x 相加，结果将舍入到 x。

z = x + 1

z =
   9.007199254740992e+15

双精度操作数

您可以使用 double 和以下的任何其他数据类型来执行基本算术运算。如果一个或多个操作数为整数标量或数组，则 double 操作数必须为标量。运算结果默认为 double 类型，除非另有说明。

单精度操作数

您可以使用 single 和以下的任何其他数据类型来执行基本算术运算。结果为 single 类型。

舍入误差

浮点数的有限精度表示可能导致舍入误差。例如，数值 4/3 不能精确表示为二进制分数。因此，下面的计算会返回数量 eps(1)，而不是 0。

e = 1 - 3*(4/3 - 1)

e =
   2.2204e-16

同样，由于 pi 不是 π 的精确表示，sin(pi) 也不精确为零。

x = sin(pi)

x =
   1.2246e-16

当对浮点数执行许多运算时，误差会不断累积和复合，舍入误差最为显著。最佳做法是尽可能减少运算次数。

抵消

根据 eps 的测量，当您从数量级大致相同的一个数中减去另一个数时，可能发生抵消。例如，eps(2^53) 为 2，因此数值 2^53 + 1 和 2^53 具有相同的浮点表示。

x = (2^53 + 1) - 2^53

x =
   0

请尽可能尝试用一种等效形式重写计算，以避免发生抵消。

淹没

当您对数量级相差特别大的浮点数执行运算时，可能发生淹没。例如，下面的计算显示精度损失会使加法运算失去意义。

x = 1 + 1e-16

x =  
   1

中间转换

当您使用不同数据类型执行算术时，中间计算和转换可能会产生意外的结果。例如，虽然 x 和 y 均为 0.2，但将它们相减会产生非零结果。原因是在执行减法之前 y 先转换为 double 类型。然后此减法的结果再转换为 single 类型的 z。

format long 
x = 0.2

x = 
   0.200000000000000

y = single(0.2)

y = 
   single
   0.2000000

z = x - y

z = 
   single 
   -2.9802323e-09

线性代数

浮点算术中的常见问题（如上述问题）在应用于线性代数问题时会复合，因为相关计算通常由多个步骤组成。例如，在求解线性方程组 Ax = b 时，MATLAB 警告结果可能不准确，因为操作数矩阵 A 为病态矩阵。

A = diag([2 eps]);
b = [2; eps];
x = A\b;

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. 
         Results may be inaccurate. RCOND = 1.110223e-16.