基于问题设置线性规划

将问题转换为求解器形式

此示例说明如何使用基于问题的方法将线性问题从数学形式转换为 Optimization Toolbox™ 求解器语法。

该问题中的变量和表达式表示一家化工厂的运作模型，该模型来自 Edgar 和 Himmelblau 的著作 [1] 中的一个示例。下面两个相关联的视频对该问题进行了描述。

使用优化进行数学建模，第 1 部分以图形方式呈现该问题，说明如何生成模型说明的数学表达式。
优化建模，第 2 部分：数学模型基于问题的解说明如何将这些数学表达式转换为 Optimization Toolbox 求解器语法。此视频说明如何求解该问题，以及如何解释结果。

此示例紧跟第 2 部分的视频，重点说明如何将问题变换为求解器语法。

模型说明

第 1 部分的视频建议采用以下方法将问题转换为数学形式：

全面了解问题。
确定目标（最大化或最小化某个函数）。
标识（命名）变量。
确定约束。
确定可以控制哪些变量。
用数学表示法指定所有量。
检查模型的完整性和正确性。

有关本节中变量的含义，请参阅第 1 部分的视频。

此优化问题是在约束条件下最小化目标函数，问题和约束均以表达式列出。

目标函数是：

0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP.

约束是：

2500 ≤ P1 ≤ 6250
I1 ≤ 192,000
C ≤ 62,000
I1 - HE1 ≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000 ≤ P2 ≤ 9000
I2 ≤ 244,000
LE2 ≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP ≥ 24,550
EP + PP ≥ 12,000
MPS ≥ 271,536
LPS ≥ 100,623
所有变量均为正。

第一种求解方法：为每个问题变量创建优化变量

第一种求解方法涉及为每个问题变量创建一个优化变量。在创建变量时，需要包括其边界。

P1 = optimvar('P1','LowerBound',2500,'UpperBound',6250);
P2 = optimvar('P2','LowerBound',3000,'UpperBound',9000);
I1 = optimvar('I1','LowerBound',0,'UpperBound',192000);
I2 = optimvar('I2','LowerBound',0,'UpperBound',244000);
C = optimvar('C','LowerBound',0,'UpperBound',62000);
LE1 = optimvar('LE1','LowerBound',0);
LE2 = optimvar('LE2','LowerBound',0,'UpperBound',142000);
HE1 = optimvar('HE1','LowerBound',0);
HE2 = optimvar('HE2','LowerBound',0);
HPS = optimvar('HPS','LowerBound',0);
MPS = optimvar('MPS','LowerBound',271536);
LPS = optimvar('LPS','LowerBound',100623);
BF1 = optimvar('BF1','LowerBound',0);
BF2 = optimvar('BF2','LowerBound',0);
EP = optimvar('EP','LowerBound',0);
PP = optimvar('PP','LowerBound',0);

创建问题和目标

创建一个优化问题容器。在问题中包含目标函数。

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*HPS + 0.0239*PP + 0.009825*EP);

创建并包含线性约束

问题表达式包含三个线性不等式：

I1 - HE1 ≤ 132,000
EP + PP ≥ 12,000
P1 + P2 + PP ≥ 24,550 (1)

创建以下不等式约束，并将它们包含在问题中。

linprob.Constraints.cons1 = I1 - HE1 <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = EP + PP >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = P1 + P2 + PP >= 24550;

该问题有八个线性等式：

I2 = LE2 + HE2
LPS = LE1 + LE2 + BF2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
I1 = LE1 + HE1 + C
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2. (2)

还要包含以下约束。

linprob.Constraints.econs1 = LE2 + HE2 == I2;
linprob.Constraints.econs2 = LE1 + LE2 + BF2 == LPS;
linprob.Constraints.econs3 = I1 + I2 + BF1 == HPS;
linprob.Constraints.econs4 = C + MPS + LPS == HPS;
linprob.Constraints.econs5 = LE1 + HE1 + C == I1;
linprob.Constraints.econs6 = HE1 + HE2 + BF1 == BF2 + MPS;
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*HE1 + 1251.4*LE1 + 192*C + 3413*P1 == 1359.8*I1;
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*HE2 + 1251.4*LE2 + 3413*P2 == 1359.8*I2;

求解问题

问题表示已完成。使用 solve 求解问题。

linsol = solve(linprob);

Optimal solution found.

检查解

计算目标函数。（您也可以通过调用 [linsol,fval] = solve(linprob) 来获取此值。）

evaluate(linprob.Objective,linsol)

ans =

   1.2703e+03

如果以最低成本法运营该工厂，则成本为 1,207.30 美元。

检查解变量值。

tbl = struct2table(linsol)

tbl =

  1×16 table

    BF1    BF2      C         EP         HE1           HE2           HPS            I1           I2       LE1       LE2           LPS           MPS         P1       P2       PP  
    ___    ___    ______    ______    __________    __________    __________    __________    ________    ___    __________    __________    __________    ____    ______    _____

    0      0      8169.7    760.71    1.2816e+05    1.4338e+05    3.8033e+05    1.3633e+05    2.44e+05    0      1.0062e+05    1.0062e+05    2.7154e+05    6250    7060.7    11239

此表太宽，其内容不易查看。堆叠变量以垂直排列它们。

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
outputvars = stack(tbl,vars,'NewDataVariableName','Amt','IndexVariableName','Var')

outputvars =

  16×2 table

    Var       Amt    
    ___    __________

    P1          6250
    P2        7060.7
    I1    1.3633e+05
    I2      2.44e+05
    C        8169.7
    LE1             0
    LE2    1.0062e+05
    HE1    1.2816e+05
    HE2    1.4338e+05
    HPS    3.8033e+05
    MPS    2.7154e+05
    LPS    1.0062e+05
    BF1             0
    BF2             0
    EP        760.71
    PP         11239

BF1、BF2 和 LE1 为 0，该值是它们的下界。
I2 为 244,000，该值是它的上界。
目标函数（成本）的非零分量是
- HPS — 380,328.74
- PP — 11,239.29
- EP — 760.71

第 2 部分的视频根据原始问题解释了这些特征。

第二种求解方法：创建一个优化变量和索引

您也可以只使用一个优化变量来求解该问题，该优化变量的索引包含问题变量的名称。通过这种方法，可一次性使所有问题变量的下界为零。

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
    'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
x = optimvar('x',vars,'LowerBound',0);

设置变量边界

使用圆点表示法包括变量的边界。

x('P1').LowerBound = 2500;
x('P2').LowerBound = 3000;
x('MPS').LowerBound = 271536;
x('LPS').LowerBound = 100623;
x('P1').UpperBound = 6250;
x('P2').UpperBound = 9000;
x('I1').UpperBound = 192000;
x('I2').UpperBound = 244000;
x('C').UpperBound = 62000;
x('LE2').UpperBound = 142000;

创建问题、线性约束和解

问题设置的其余部分类似于使用单独变量的设置。不同之处在于，您是通过变量的名称（如 P1）而非其索引 x('P1') 来寻址变量的。

创建问题对象，包括线性约束，并求解问题。

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*x('HPS') + 0.0239*x('PP') + 0.009825*x('EP'));

linprob.Constraints.cons1 = x('I1') - x('HE1') <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = x('EP') + x('PP') >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = x('P1') + x('P2') + x('PP') >= 24550;

linprob.Constraints.econs1 = x('LE2') + x('HE2') == x('I2');
linprob.Constraints.econs2 = x('LE1') + x('LE2') + x('BF2') == x('LPS');
linprob.Constraints.econs3 = x('I1') + x('I2') + x('BF1') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs4 = x('C') + x('MPS') + x('LPS') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs5 = x('LE1') + x('HE1') + x('C') == x('I1');
linprob.Constraints.econs6 = x('HE1') + x('HE2') + x('BF1') == x('BF2') + x('MPS');
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*x('HE1') + 1251.4*x('LE1') + 192*x('C') + 3413*x('P1') == 1359.8*x('I1');
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*x('HE2') + 1251.4*x('LE2') + 3413*x('P2') == 1359.8*x('I2');

[linsol,fval] = solve(linprob);

Optimal solution found.

检查索引解

使用竖表查看解。

tbl = table(vars',linsol.x')

tbl =

  16×2 table

    Var1        Var2   
    _____    __________

    'P1'           6250
    'P2'         7060.7
    'I1'     1.3633e+05
    'I2'       2.44e+05
    'C'          8169.7
    'LE1'             0
    'LE2'    1.0062e+05
    'HE1'    1.2816e+05
    'HE2'    1.4338e+05
    'HPS'    3.8033e+05
    'MPS'    2.7154e+05
    'LPS'    1.0062e+05
    'BF1'             0
    'BF2'             0
    'EP'         760.71
    'PP'          11239