使用梯度和黑塞矩阵的最小化

此示例说明如何使用显式三对角黑塞矩阵 $H (x)$ 求解非线性最小化问题。问题可以表示为找出使以下方程最小化的 $x$ ：

$f (x) = \sum_{i = 1}^{n - 1} ({(x_{i}^{2})}^{(x_{i + 1}^{2} + 1)} + {(x_{i + 1}^{2})}^{(x_{i}^{2} + 1)}),$

其中 $n$ = 1000。

此示例末尾的辅助函数 brownfgh 计算 $f (x)$ ，其梯度 $g (x)$ ，和黑塞矩阵 $H (x)$ 。要指定 fminunc 求解器使用导数信息，请使用 optimoptions 设置 SpecifyObjectiveGradient 和 HessianFcn 选项。要将黑塞矩阵与 fminunc 结合使用，必须使用 'trust-region' 算法。

options = optimoptions(@fminunc,'Algorithm','trust-region',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'HessianFcn','objective');

将参数 n 设置为 1000，并将初始点 xstart 设置为 -1（对于奇数分量）和 +1（对于偶数分量）。

n = 1000;
xstart = -ones(n,1);
xstart(2:2:n) = 1;

求 $f$ 的最小值。

[x,fval,exitflag,output] = fminunc(@brownfgh,xstart,options);

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

检查解和求解过程。

disp(fval)

   2.8709e-17

disp(exitflag)

disp(output)

         iterations: 7
          funcCount: 8
           stepsize: 0.0039
       cgiterations: 7
      firstorderopt: 4.7948e-10
          algorithm: 'trust-region'
            message: 'Local minimum found.↵↵Optimization completed because the size of the gradient is less than↵the value of the optimality tolerance.↵↵<stopping criteria details>↵↵Optimization completed: The first-order optimality measure, 4.794806e-10, ↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and no negative/zero↵curvature is detected in the trust-region model.'
    constrviolation: []

函数 $f (x)$ 是平方值乘幂的和，因此为非负值。解 fval 几乎为零，显然是最小值。退出标志 1 也表示 fminunc 已求得解。output 结构体表明 fminunc 只需 7 次迭代就找到了解。

显示该解的最大和最小元素。

disp(max(x))

   1.1987e-10

disp(min(x))

  -1.1987e-10

该解非常接近于当 x 的所有元素均满足 x = 0 时的点。

辅助函数

以下代码会创建 brownfgh 辅助函数。

function [f,g,H] = brownfgh(x)
%BROWNFGH  Nonlinear minimization problem (function, its gradients
% and Hessian)
% Documentation example        

%   Copyright 1990-2008 The MathWorks, Inc.

% Evaluate the function.
  n=length(x); y=zeros(n,1);
  i=1:(n-1);
  y(i)=(x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)+(x(i+1).^2).^(x(i).^2+1);
  f=sum(y);
%
% Evaluate the gradient.
  if nargout > 1
     i=1:(n-1); g = zeros(n,1);
     g(i)= 2*(x(i+1).^2+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+...
             2*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*log(x(i+1).^2);
     g(i+1)=g(i+1)+...
              2*x(i+1).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)).*log(x(i).^2)+...
              2*(x(i).^2+1).*x(i+1).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2));
  end
%
% Evaluate the (sparse, symmetric) Hessian matrix
  if nargout > 2
     v=zeros(n,1);
     i=1:(n-1);
     v(i)=2*(x(i+1).^2+1).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+...
            4*(x(i+1).^2+1).*(x(i+1).^2).*(x(i).^2).*((x(i).^2).^((x(i+1).^2)-1))+...
            2*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*(log(x(i+1).^2));
     v(i)=v(i)+4*(x(i).^2).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*((log(x(i+1).^2)).^2);
     v(i+1)=v(i+1)+...
              2*(x(i).^2).^(x(i+1).^2+1).*(log(x(i).^2))+...
              4*(x(i+1).^2).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)).*((log(x(i).^2)).^2)+...
              2*(x(i).^2+1).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2));
     v(i+1)=v(i+1)+4*(x(i).^2+1).*(x(i+1).^2).*(x(i).^2).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2-1));
     v0=v;
     v=zeros(n-1,1);
     v(i)=4*x(i+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+...
            4*x(i+1).*(x(i+1).^2+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2)).*log(x(i).^2);
     v(i)=v(i)+ 4*x(i+1).*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)).*log(x(i+1).^2);
     v(i)=v(i)+4*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)).*x(i+1);
     v1=v;
     i=[(1:n)';(1:(n-1))'];
     j=[(1:n)';(2:n)'];
     s=[v0;2*v1];
     H=sparse(i,j,s,n,n);
     H=(H+H')/2;
  end
end

另请参阅

主题

使用梯度和 Hessian 稀疏模式进行最小化