范德波尔振荡器

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此示例说明如何在 Simulink® 中对二阶范德波尔 (VDP) 微分方程进行建模。在动力学中，VDP 振荡器不是守恒的，且具有非线性阻尼。在高振幅时，振荡器耗散能量。在低振幅时，振荡器生成能量。振荡器由以下二阶微分方程给出：

$\frac{d^2 x}{dt^2} - \mu\left( 1- x^2 \right) \frac{dx}{dt} + x = 0$

其中：

x 是位置，它作为时间的函数。
$\mu$ 是阻尼。

要以状态空间格式表示二阶微分方程，请定义 ${x}_1 = x$ 。此状态空间表示作为 ${x}_1$ 和 ${x}_2$ 形式包含在模型中。

${x}_1^{'}={x}_2$

${x}_2^{'}=-{x}_1 + \mu\left( 1- {{x}_1}^2 \right){x}_2$

其中：

${x}_1^{'} = \frac{dx}{dt}$

${x}_2^{'} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

VDP 振荡器用于物理和生物科学，包括电路。

open_system('vdp');

使用 Mu = 1 进行仿真

当 $\mu = 1$ 时，VDP 振荡器具有非线性阻尼。

set_param('vdp/Mu','Gain','1')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

使用 Mu = 0 进行仿真

当 $\mu = 0$ 时，VDP 振荡器无阻尼。在这个简谐振荡器中能量是守恒的。方程变为：

$\frac{d^2 x}{dt^2} + x = 0$

set_param('vdp/Mu','Gain','0')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

另请参阅

Integrator | Slider Gain

主题

Real-Time Van der Pol Simulation (Simulink Desktop Real-Time)
对微分代数方程建模

参考

[1] Cartwright, M. L. "Balthazar Van Der Pol." Journal of the London Mathematical Society. Wiley. s1 35 (July 1960): 367–376. https://doi:10.1112/jlms/s1-35.3.367.

[2] Hirsch, Morris W., Stephen Smale, Robert L. Devaney, and Morris W. Hirsch. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 2nd Ed. San Diego: Academic Press, 2004.