求解代数方程

求解方程

如果 eqn 为方程，则 solve(eqn,x) 关于符号变量 x 求解 eqn。

使用 == 运算符指定常见的二次方程，并使用 solve 对其求解。

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
solx = solve(eqn, x)

solx = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{b+\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\\ -\frac{b-\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\end{array}\right)$$

solx 为包含该二次方程的两个解的符号向量。如果输入 eqn 为表达式而非方程，solve 将求解方程 eqn == 0。

要关于 x 以外的变量求解，请指定该变量。例如，关于 b 求解 eqn。

solb = solve(eqn,b)

solb = 
$$-\frac{a\hspace{0.17em}{x}^2+c}{x}$$

如果您未指定变量，solve 会使用 symvar 来选择要关于哪个变量进行求解。例如，solve(eqn) 关于 x 求解 eqn。

返回方程的完整解

solve 不会自动返回方程的所有解。求解方程 cos(x) == -sin(x)。solve 函数仅返回众多解中的一个解。

syms x
solx = solve(cos(x) == -sin(x),x)

solx = 
$$-\frac{\pi }{4}$$

要返回所有解以及解中的参数和解的条件，请将 ReturnConditions 选项设置为 true。求解同一个方程以获得完整解。提供三个输出变量：关于 x 的解、解中的参数以及解的条件。

syms x
[solx,param,cond] = solve(cos(x) == -sin(x), x, ReturnConditions=true)

solx = 
$$\pi \hspace{0.17em}k-\frac{\pi }{4}$$

param = $$k$$

cond = $$k\in \mathbb{Z}$$

solx 包含关于 x 的解，即 pi*k - pi/4。param 变量指定解中的参数，即 k。cond 变量指定解的条件 $k\in \mathbb{Z}$，即 k 必须为整数。因此，solve 返回一个周期性解，该解从 pi/4 开始，以 pi*k 为间隔重复，其中 k 为整数。

使用 solve 返回的完整解、参数和条件

您可以使用 solve 返回的解、参数和条件来求某个区间内的解或满足附加条件的解。

要求区间 -2*pi < x < 2*pi 内的 x 值，需在条件 cond 下在该区间内关于 k 求解 solx。使用 assume 假定条件 cond。

assume(cond)
solk = solve(-2*pi < solx,solx < 2*pi,param)

solk = 
$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$$

要求与这些 k 值对应的 x 值，请使用 subs 将 k 代入 solx。

xvalues = subs(solx,solk)

xvalues = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{5\hspace{0.17em}\pi }{4}\\ -\frac{\pi }{4}\\ \frac{3\hspace{0.17em}\pi }{4}\\ \frac{7\hspace{0.17em}\pi }{4}\end{array}\right)$$

要将这些符号值转换为数值以便在数值计算中使用，请使用 vpa。

xvalues = vpa(xvalues)

xvalues = 
$$\left(\begin{array}{c}-3.9269908169872415480783042290994\\ -0.78539816339744830961566084581988\\ 2.3561944901923449288469825374596\\ 5.4977871437821381673096259207391\end{array}\right)$$

可视化并绘制 solve 返回的解

前面的部分使用 solve 求解了方程 cos(x) == -sin(x)。可以使用 fplot 和 scatter 等绘图函数对该方程的解进行可视化。

绘制方程 cos(x) == -sin(x) 两边的图。

fplot(cos(x))
hold on
grid on
fplot(-sin(x))
title("Both sides of equation cos(x) = -sin(x)")
legend("cos(x)","-sin(x)",AutoUpdate="off")

计算函数在 x 值处的值，并使用 scatter 将解以点的形式叠加绘制在图中。

yvalues = cos(xvalues)

yvalues = 
$$\left(\begin{array}{c}-0.70710678118654752440084436210485\\ 0.70710678118654752440084436210485\\ -0.70710678118654752440084436210485\\ 0.70710678118654752440084436210485\end{array}\right)$$

scatter(xvalues, yvalues)

与预期相符，解出现在两个绘图的交点处。

简化复杂结果并提升性能

如果结果看起来复杂、solve 运行卡顿，或者如果您希望提升性能，请参阅Choose an Approach for Solving Equations Using solve Function。