求解微分方程

在具有或不具有初始条件的情况下使用 dsolve 函数以解析方式求解微分方程。要求解微分方程组，请参阅Solve a System of Differential Equations。

一阶线性 ODE

求解下列微分方程。

$\frac{dy}{dt} = ty .$

首先，通过使用 syms 创建符号函数 y(t)，来表示 $y$ 。

syms y(t)

使用 == 定义该方程，并使用 diff 函数表示微分。

ode = diff(y,t) == t*y

ode(t) = 
 $\frac{\partial}{\partial t} y (t) = t y (t)$

使用 dsolve 求解该方程。

ySol(t) = dsolve(ode)

ySol(t) = 
 $C_{1} e^{\frac{t^{2}}{2}}$

求解具有条件的微分方程

在上一个解中，由于未指定条件，因此出现了常量 $C_{1}$ 。求解具有初始条件 y(0) == 2 的方程。dsolve 函数用于求满足条件的 $C_{1}$ 值。

cond = y(0) == 2;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) = 
 $2 e^{\frac{t^{2}}{2}}$

如果 dsolve 无法求解方程，则尝试以数值方式求解方程。请参阅Solve a Second-Order Differential Equation Numerically。

具有初始条件的非线性微分方程

求解具有初始条件的下列非线性微分方程。该方程有多个解。

$\begin{array}{l} {(\frac{dy}{dt} + y)}^{2} = 1, \\ y (0) = 0 . \end{array}$

syms y(t)
ode = (diff(y,t)+y)^2 == 1;
cond = y(0) == 0;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) = 
 $(\begin{array}{c} e^{- t} - 1 \\ 1 - e^{- t} \end{array})$

具有初始条件的二阶 ODE

求解具有两个初始条件的下列二阶微分方程。

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} = \cos (2 x) - y, \\ y (0) = 1, \\ y^{'} (0) = 0 . \end{array}$

定义方程和条件。第二个初始条件涉及 y 的一阶导数。通过创建符号函数 Dy = diff(y) 表示该导数，然后使用 Dy(0)==0 定义条件。

syms y(x)
Dy = diff(y);

ode = diff(y,x,2) == cos(2*x)-y;
cond1 = y(0) == 1;
cond2 = Dy(0) == 0;

求解 y 的 ode。使用 simplify 函数简化解。

conds = [cond1 cond2];
ySol(x) = dsolve(ode,conds);
ySol = simplify(ySol)

ySol(x) = 
 $1 - \frac{8 {\sin (\frac{x}{2})}^{4}}{3}$

具有初始条件的三阶 ODE

求解具有三个初始条件的下列三阶微分方程。

$\begin{array}{l} \frac{d^{3} u}{{dx}^{3}} = u, \\ u (0) = 1, \\ u^{'} (0) = - 1, \\ {u^{'}}^{'} (0) = π . \end{array}$

由于初始条件包含一阶和二阶导数，因此请创建两个符号函数 Du = diff(u,x) 和 D2u = diff(u,x,2) 以指定初始条件。

syms u(x)
Du = diff(u,x);
D2u = diff(u,x,2);

创建方程和初始条件，并对其求解。

ode = diff(u,x,3) == u;
cond1 = u(0) == 1;
cond2 = Du(0) == -1;
cond3 = D2u(0) == pi;
conds = [cond1 cond2 cond3];

uSol(x) = dsolve(ode,conds)

uSol(x) = 
 $\frac{π e^{x}}{3} - e^{- \frac{x}{2}} \cos (\frac{\sqrt{3} x}{2}) (\frac{π}{3} - 1) - \frac{\sqrt{3} e^{- \frac{x}{2}} \sin (\frac{\sqrt{3} x}{2}) (π + 1)}{3}$

微分方程	使用 Symbolic Math Toolbox 的命令
$\begin{array}{l} \frac{dy}{dt} + 4 y (t) = e^{- t}, \\ y (0) = 1 . \end{array}$	`>> syms y(t)` `>> ode = diff(y)+4y == exp(-t);` `>> cond = y(0) == 1;` `>> ySol(t) = dsolve(ode,cond)` `ySol(t) =` `exp(-t)/3 + (2exp(-4*t))/3`
$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} + 3 x \frac{dy}{dx} - y = 0 .$	`>> syms y(x)` `>> ode = 2x^2diff(y,x,2)+3xdiff(y,x)-y == 0;` `>> ySol(x) = dsolve(ode)` `ySol(x) =` `C1/(3x) + C2x^(1/2)`
艾里方程。 $\frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} = x y (x) .$	`>> syms y(x)` `>> ode = diff(y,x,2) == xy;` `>> ySol(x) = dsolve(ode)` `ySol(x) =` `C1airy(0,x) + C2*airy(2,x)`
皮瑟级数解。 $(x^{2} + 1) \frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} - 2 x \frac{dy}{dx} + y = 0 .$	`>> syms y(x) a` `>> ode = (x^2+1)diff(y,x,2)-2xdiff(y,x)+y == 0;` `>> Dy = diff(y,x);` `>> cond = [Dy(0) == a; y(0) == 5];` `>> ySol(x) = dsolve(ode,cond,ExpansionPoint=0)` `ySol(x) =` `- (ax^5)/120 - (5x^4)/24 + (ax^3)/6 - (5x^2)/2 + ax + 5`

另请参阅

dsolve | odeFunction | odeToVectorField | reduceDifferentialOrder | daeFunction