dsolve

求解一阶微分方程 $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}$。

使用 diff 指定一阶导数，并使用 == 指定方程。然后，使用 dsolve 求解方程。

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
S = dsolve(eqn)

S = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

解中包含一个常数。要消除常数，请参阅求解具有条件的微分方程。有关完整的工作流，请参阅Solve Partial Differential Equation of Tsunami Model。

求解二阶微分方程 $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}=\mathit{ay}$。

使用 diff(y,t,2) 指定 y 的二阶导数，并使用 == 指定方程。然后，使用 dsolve 求解方程。

syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y;
ySol(t) = dsolve(eqn)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}+C_2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}$$

求解具有初始条件 $$y(0)=5$$ 的一阶微分方程 $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}$。

使用 == 运算符将初始条件指定为 dsolve 的第二个输入。指定条件会从解中消除任意常数，例如 C1、C2、...。

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0) == 5;
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = $$5\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

接下来，求解具有初始条件 $$y(0)=b$$ 和 $$y^{\prime }(0)=1$$ 的二阶微分方程 $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}={\mathit{a}}^2\mathit{y}$。

通过将 diff(y,t) 赋值给 Dy 然后使用 Dy(0) == 1 来指定第二个初始条件。

syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy = diff(y,t);
cond = [y(0)==b, Dy(0)==1];
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b+1\right)}{2\hspace{0.17em}a}+\frac{{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b-1\right)}{2\hspace{0.17em}a}$$

此二阶微分方程有两个指定条件，因此常数从解中消除。一般来说，要从解中消除常数，条件的数量必须等于方程的阶数。

求解微分方程组

将方程组指定为向量。dsolve 会返回包含解的结构体。

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y];
S = dsolve(eqns)

S = struct with fields:
    z: C2*cos(t) - C1*sin(t)
    y: C1*cos(t) + C2*sin(t)

通过访问结构体的元素来获得解。

ySol(t) = S.y

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = S.z

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

在求解多个函数时，dsolve 默认返回一个结构体。您也可以通过将输出显式指定为向量来直接将解赋值给函数或变量。dsolve 使用 symvar 按字母顺序对输出进行排序。

求解一个微分方程组并将输出赋值给函数。

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t)==z, diff(z,t)==-y];
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

求解微分方程 $$\frac{\partial }{\partial t}y(t)=e^{-y(t)}+y(t)$$。dsolve 会返回用朗伯 W 函数表示的显式解，其中包含一个常数值。

syms y(t)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)

eqn(t) = 
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }y\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}+y\left(t\right)$$

sol = dsolve(eqn)

sol = $${\mathrm{W}\text{<a href="matlab:doc symbolic/lambertw">lambertw</a>}}_0\left(-1\right)$$

要返回该微分方程的隐式解，请将 Implicit 选项设置为 true。隐式解的形式为 $$F(y(t))=g(t)$$。

sol = dsolve(eqn,Implicit=true)

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}\left({\int \frac{{\mathrm{e}}^y}{y\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^y+1}\mathrm{ }\mathrm{d}y|}_{y=y\left(t\right)}\right)=C_1+t\\ {\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}\hspace{0.17em}\left({\mathrm{e}}^{y\left(t\right)}\hspace{0.17em}y\left(t\right)+1\right)=0\end{array}\right)$$

如果 dsolve 无法通过解析方式求出微分方程的显式解，则它会返回空符号数组。您可以使用 MATLAB® 数值求解器（例如 ode45）来求解该微分方程。有关详细信息，请参阅Solve a Second-Order Differential Equation Numerically。

syms y(x)
eqn = diff(y) == (x-exp(-x))/(y(x)+exp(y(x)));
S = dsolve(eqn)

Warning: Unable to find symbolic solution.

 
S =
 
[ empty sym ]
 

您也可以通过将 Implicit 选项指定为 true 来尝试求出微分方程的隐式解。隐式解的形式为 $$F(y(x))=g(x)$$。

S = dsolve(eqn,Implicit=true)

S = 
$${\mathrm{e}}^{y\left(x\right)}+\frac{{y\left(x\right)}^2}{2}=C_1+{\mathrm{e}}^{-x}+\frac{x^2}{2}$$

求解具有条件 $$y(a)=1$$ 的微分方程 $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{a}}{\sqrt{\mathit{y}}}+\mathit{y}$。默认情况下，dsolve 会应用并非普遍正确但能产生更简单解的简化操作。有关详细信息，请参阅算法。

syms a y(t)
eqn = diff(y) == a/sqrt(y) + y;
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn,cond)

ySimplified = 
$${\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)}-a\right)}^{2/3}$$

要返回包含参数 $$a$$ 的所有可能值的解，可通过将 IgnoreAnalyticConstraints 设置为 false 来关闭简化。

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,IgnoreAnalyticConstraints=false)

yNotSimplified = 
$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{cl}\{\begin{array}{cl}\left\{{\sigma }_1\right\}& \text{ if }-\frac{\pi }{2}<{\sigma }_2\\ \left\{{\sigma }_1,-{\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+{\left(-\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)}^{3/2}\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)\right\}& \text{ if }{\sigma }_2\le -\frac{\pi }{2}\end{array}& \text{ if }{C}_2\in \mathbb{Z}\\ \varnothing & \text{ if }{C}_2\notin \mathbb{Z}\end{array}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\text{angle}\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}{C}_1}{2}+\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}}-a\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}$$

求解二阶微分方程 $$(x^2-1{)}^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}y(x)+(x+1)\frac{\partial }{\partial x}y(x)-y(x)=0$$。dsolve 返回的解包含一个具有未计算积分的项。

syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0;
S = dsolve(eqn)

S = 
$$C_2\hspace{0.17em}\left(x+1\right)+C_1\hspace{0.17em}\left(x+1\right)\hspace{0.17em}\int \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2\hspace{0.17em}\left(x-1\right)}}\hspace{0.17em}{\left(1-x\right)}^{1/4}}{{\left(x+1\right)}^{9/4}}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

要返回该微分方程在 $$x=-1$$ 附近的级数解，请将 ExpansionPoint 设置为 -1。dsolve 会以皮瑟级数展开的形式返回两个线性无关解。

S = dsolve(eqn,ExpansionPoint=-1)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^{1/4}}-\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{3/4}}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{7/4}}{48}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{11/4}}{336}+\frac{115\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{15/4}}{33792}+\frac{169\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{19/4}}{184320}\\ x+1\end{array}\right)$$

通过将 ExpansionPoint 设置为 Inf 来求展开点 $$\infty$$ 附近的其他级数解。

S = dsolve(eqn,ExpansionPoint=Inf)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+1\\ x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}\end{array}\right)$$

级数展开的默认截断阶数是 6。要在皮瑟级数解中取更多项，请将 Order 设置为 8。

S = dsolve(eqn,ExpansionPoint=Inf,Order=8)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}+\frac{37}{1680\hspace{0.17em}{x}^7}+1\\ x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}-\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}-\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}\end{array}\right)$$

在不指定初始条件的情况下求解微分方程 $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{1}{{\mathit{x}}^2}{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$。

syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2;
ySol(x) = dsolve(eqn)

ySol(x) = 
$$C_1+{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}$$

要从解中消除常数，请指定初始条件 $\mathit{y}\left(0\right)=1$。

cond = y(0) == 1;
S = dsolve(eqn,cond)

S = 
$${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}+1$$

解 ySol(x) 中的函数 ${\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$ 在 $$x=0$$ 处具有不同的单侧极限。该函数具有右侧极限 $\underset{\mathit{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=0$，但其左侧极限 $\underset{\mathit{x}\to 0^{-}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=\infty$ 未定义。

当您为在 x0 处具有不同单侧极限的函数指定条件 y(x0) 时，dsolve 会将该条件视为右侧极限 $\lim \mathit{x}\to {\mathit{x}}_0^{+}$。