solve

在不指定要求解的变量的情况下求解以下二次方程。solve 会选择 x 来返回解。

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0

eqn = $$a\hspace{0.17em}{x}^2+b\hspace{0.17em}x+c=0$$

S = solve(eqn)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{b+\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\\ -\frac{b-\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\end{array}\right)$$

指定要求解的变量并关于 a 求解该二次方程。

Sa = solve(eqn,a)

Sa = 
$$-\frac{c+b\hspace{0.17em}x}{x^2}$$

求解一个五次多项式方程。它有五个解。

syms x
eqn = x^5 == 3125;
S = solve(eqn,x)

S = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}5\\ -{\sigma }_1-\frac{5}{4}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{5-\sqrt{5}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ -{\sigma }_1-\frac{5}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{5-\sqrt{5}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ {\sigma }_1-\frac{5}{4}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\sqrt{5}+5}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ {\sigma }_1-\frac{5}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\sqrt{5}+5}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{5}}{4}\end{array}$$

通过将 Real 参量设置为 true 来仅返回实数解。此方程唯一的实数解是 5。

S = solve(eqn,x,Real=true)

S = $$5$$

当 solve 无法以符号形式求解方程时，它会尝试使用 vpasolve 求出数值解。vpasolve 函数会返回求出的第一个解。

尝试求解以下方程。solve 会返回一个数值解，因为它无法求出符号解。

syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
S = solve(eqn,x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using <a href="matlab:web(fullfile(docroot, 'symbolic/vpasolve.html'))">vpasolve</a>.

S = $$-0.63673265080528201088799090383828$$

绘制该方程左右两边的图。观察可知该方程还有一个正解。

fplot([lhs(eqn) rhs(eqn)], [-2 2])

通过直接调用数值求解器 vpasolve 并指定区间来求出另一个解。

V = vpasolve(eqn,x,[0 2])

V = $$1.4096240040025962492355939705895$$

在求解多个变量的方程时，将输出存储在结构体数组中要比存储在单独的变量中更方便。当您指定单个输出参量并且存在多个输出时，solve 函数会返回一个结构体。

求解一个方程组并以结构体数组的形式返回解。

syms u v
eqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
S = solve(eqns,[u v])

S = struct with fields:
    u: 1/3
    v: -2/3

通过访问结构体的元素来获得解。

S.u

ans = 
$$\frac{1}{3}$$

S.v

ans = 
$$-\frac{2}{3}$$

使用结构体数组时，您可以方便地将解代入其他表达式。

使用 subs 函数将解 S 代入其他表达式。

expr1 = u^2;
e1 = subs(expr1,S)

e1 = 
$$\frac{1}{9}$$

expr2 = 3*v + u;
e2 = subs(expr2,S)

e2 = 
$$-\frac{5}{3}$$

如果 solve 返回空对象，则说明不存在解。

eqns = [3*u+2, 3*u+1];
S = solve(eqns,u)

 
S =
 
Empty sym: 0-by-1
 

solve 函数可以求解不等式并返回满足不等式的解。求解以下不等式。

将 ReturnConditions 设置为 true 以返回解中的任何参数以及解的条件。

syms x y
eqn1 = x > 0;
eqn2 = y > 0;
eqn3 = x^2 + y^2 + x*y < 1;
eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];

S = solve(eqns,[x y],ReturnConditions=true);
S.x

ans = 
$$\frac{\sqrt{u-3\hspace{0.17em}{v}^2}}{2}-\frac{v}{2}$$

S.y

ans = $$v$$

S.parameters

ans = $$\left(\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right)$$

S.conditions

ans = $$4\hspace{0.17em}{v}^2<u\wedge u<4\wedge 0<v$$

参数 u 和 v 不存在于 MATLAB® 工作区中，必须使用 S.parameters 来获得。

使用 subs 和 isAlways 检查值 u = 7/2 和 v = 1/2 是否满足条件。

condWithValues = subs(S.conditions, S.parameters, [7/2,1/2]);
isAlways(condWithValues)

ans = logical
   1

isAlways 返回逻辑值 1 (true)，表示这些值满足条件。将这些参数值代入 S.x 和 S.y 来求出 x 和 y 的解。

xSol = subs(S.x, S.parameters, [7/2,1/2])

xSol = 
$$\frac{\sqrt{11}}{4}-\frac{1}{4}$$

ySol = subs(S.y, S.parameters, [7/2,1/2])

ySol = 
$$\frac{1}{2}$$

求解以下方程组。

在求解多个变量的方程时，您指定这些变量的顺序决定了求解器返回解的顺序。通过显式指定变量，将解赋值给变量 solv 和 solu。求解器会为每个变量返回解的数组。

syms u v
eqns = [2*u^2 + v^2 == 0, u - v == 1];
vars = [v u];
[solv, solu] = solve(eqns,vars)

solv = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

solu = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

具有相同索引的项构成解对组。

solutions = [solv solu]

solutions = 
$$\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}& \frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}& \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

通过将 ReturnConditions 指定为 true，返回包含解的参数和条件的方程的完整解。

求解方程 $$\sin (x)=0$$。为输出参量 parameters 和 conditions 提供两个额外的输出变量。

syms x
eqn = sin(x) == 0;
[solx,parameters,conditions] = solve(eqn,x,ReturnConditions=true)

solx = $$\pi \hspace{0.17em}k$$

parameters = $$k$$

conditions = $$k\in \mathbb{Z}$$

解 $$\pi k$$ 包含参数 $$k$$，其中 $$k$$ 必须是整数。变量 $$k$$ 不存在于 MATLAB® 工作区中，必须使用 parameters 来获得。

将解限制为 $$0<x<2\pi$$。求出满足此限制的 $$k$$ 的有效值。假设条件 conditions，并使用 solve 来求出 $$k$$。将求出的 $$k$$ 值代入 $$x$$ 的解中。

assume(conditions)
restriction = [solx > 0, solx < 2*pi];
solk = solve(restriction,parameters)

solk = $$1$$

valx = subs(solx,parameters,solk)

valx = $$\pi$$

或者，通过选择 $$k$$ 的值来确定 $$x$$ 的解。使用 isAlways 检查所选的值是否满足 $$k$$ 的条件。

检查 $$k=4$$ 是否满足 $$k$$ 的条件。

condk4 = subs(conditions,parameters,4);
isAlways(condk4)

ans = logical
   1

isAlways 返回逻辑值 1 (true)，这意味着 4 是 $$k$$ 的有效值。用 4 代入 $$k$$ 以求出 $$x$$ 的解。使用 vpa 获得数值逼近值。

valx = subs(solx,parameters,4)

valx = $$4\hspace{0.17em}\pi$$

vpa(valx)

ans = $$12.5664$$

求解方程 $\exp \left(\log \left(\mathit{x}\right)\log \left(3\mathit{x}\right)\right)=4$。

当您定义符号变量 x 时，该变量默认表示一个复数值。solve 函数仅应用对 x 的所有值都有效的数学规则或简化。求解器不会假定 x 是正实数，因此它不会应用对数恒等式 $$\log (3x)=\log (3)+\log (x)$$。因此，solve 无法以符号形式求解该方程。

syms x
eqn = exp(log(x)*log(3*x)) == 4;
S = solve(eqn,x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using <a href="matlab:web(fullfile(docroot, 'symbolic/vpasolve.html'))">vpasolve</a>.

S = $$-14.009379055223370038369334703094-2.9255310052111119036668717988769\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

要应用可能使 solve 求出符号解的数学规则，请将 IgnoreAnalyticConstraints 名称-值参量指定为 true。有关详细信息，请参阅算法。

S = solve(eqn,x,IgnoreAnalyticConstraints=true)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}}{3}\end{array}\right)$$

此处，solve 应用了对数恒等式，使得求解器通过假定 x 是正实数来求出解。由于这些恒等式通常并非总是成立，因此在求解器忽略约束时，验证解是一个很好的做法。

例如，用第二个解代入原始方程中的 x 来验证解。使用 isAlways 检查得到的方程是否为 true。

verifyeqn = subs(eqn,x,S(2))

verifyeqn = 
$${\mathrm{e}}^{\log \left(\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}\right)\hspace{0.17em}\log \left(\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}}{3}\right)}=4$$

tf = isAlways(verifyeqn)

tf = logical
   1

solve 函数可能不会返回简化的解。例如，求解一个方程。

syms x
S = solve((sin(x) - 2*cos(x))/(sin(x) + 2*cos(x)) == 1/2, x)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-\log \left(-\frac{\sqrt{-\frac{140}{37}+\frac{48}{37}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -\log \left(\frac{\sqrt{-\frac{140}{37}+\frac{48}{37}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}\end{array}\right)$$

要简化解，请使用 simplify。

S = simplify(S)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-\log \left(\sqrt{37}\hspace{0.17em}\left(-\frac{1}{37}-\frac{6}{37}\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ \log \left(2\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}-\frac{\log \left(-\frac{140}{37}+\frac{48}{37}\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)$$

使用 simplify 并执行更多步骤来进一步简化解。

S = simplify(S,Steps=50)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{atan}\left(6\right)-\pi \\ \frac{\pi }{2}-\frac{\mathrm{atan}\left(\frac{12}{35}\right)}{2}\end{array}\right)$$

sym 和 syms 函数用于为符号变量设置假设。

假设变量 x 为正数。

syms x positive

当您针对设置了假设的变量求解方程时，求解器仅返回与假设相符的解。针对 x 求解以下方程。

eqn = x^2 + 5*x - 6 == 0;
S = solve(eqn,x)

S = $$1$$

通过将 IgnoreProperties 设置为 true，允许返回不满足假设的解。

S = solve(eqn,x,IgnoreProperties=true)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\end{array}\right)$$

为了进一步的计算，请使用 syms 重新创建变量 x 以清除对它设置的假设。

syms x

求解多项式方程时，求解器可能会使用 root 返回解。求解一个三次多项式方程。

syms x a
eqn = x^3 + x^2 + a == 0;
solve(eqn, x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,1\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,2\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,3\right)\end{array}\right)$$

通过使用 MaxDegree 参量调用求解器，尝试获得此类方程的显式解。此参量指定求解器尝试返回其显式解的多项式的最大次数。默认值为 2。增大此值，可以获得更高阶多项式的显式解。

通过将 MaxDegree 的值增大到 3 来求解相同方程的显式解。

S = solve(eqn,x,MaxDegree=3)

S = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}+{\sigma }_1-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(\sqrt{{\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{27}\right)}^2-\frac{1}{729}}-\frac{a}{2}-\frac{1}{27}\right)}^{1/3}\end{array}$$

求解方程 $$\sin (x)+\cos (2x)=1$$。

求解器不会返回无限多个周期性解，而会选择它认为最实用的三个解。

syms x
eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;
S = solve(eqn,x)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{\pi }{6}\\ \frac{5\hspace{0.17em}\pi }{6}\end{array}\right)$$

通过将 PrincipalValue 设置为 true 来仅选择一个解。

S1 = solve(eqn,x,PrincipalValue=true)

S1 = $$0$$

使用 solve 求解包含多个变量的方程时，您指定变量的顺序会影响解。在某些情况下，不同的顺序可能会得到满足待求解方程或方程组的不同解。

求解一个包含两个未知数 a 和 b 的方程。

syms a b
eqn = a*exp(1i*b) == 1

eqn = $$a\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{b\hspace{0.17em}\mathrm{i}}=1$$

首先，按先 a 后 b 的顺序指定要求解的变量。在此情况下，解包含一个任意参数，a 为指数函数，b 为任意值。

[sola,solb,parameters,conditions] = solve(eqn,a,b,ReturnConditions=true)

sola = $${\mathrm{e}}^{-z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}$$

solb = $$z$$

parameters = $$z$$

conditions = $$\mathrm{symtrue}$$

接下来，以相反的顺序指定要求解的变量，即先 b 后 a。在此情况下，解包含一个非零任意参数和一个整数参数。b 的解是一个对数函数加上 $$2\pi$$ 的整数倍，a 的解一个是任意非零值。

[solb,sola,parameters,conditions] = solve(eqn,b,a,ReturnConditions=true)

solb = 
$$2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}k-\log \left(\frac{1}{z}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

sola = $$z$$

parameters = $$\left(\begin{array}{cc}k& z\end{array}\right)$$

conditions = $$k\in \mathbb{Z}\wedge z\ne 0$$

自 R2025a 起

您可以求解未知数为符号函数或其导数的符号方程。

例如，创建一个涉及符号函数 $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ 的二次方程。使用 solve 求 $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$。

syms f(x) b c
eq = f(x)*x^2 + b*x + c == 0;
fsol = solve(eq,f(x))

fsol = 
$$-\frac{c+b\hspace{0.17em}x}{x^2}$$

接下来，创建一个涉及符号函数 $\theta \left(\mathit{t}\right)$ 的三角函数的方程。在 ReturnConditions 设置为 true 的情况下，使用 solve 求 $\theta \left(\mathit{t}\right)$。

syms t theta(t)
eq = 3 == -9.8*sin(theta(t));
[thetasol,param,cond] = solve(eq,theta(t),ReturnConditions=true)

thetasol = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}k-\mathrm{asin}\left(\frac{15}{49}\right)\\ \pi +\mathrm{asin}\left(\frac{15}{49}\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}k\end{array}\right)$$

param = $$k$$

cond = 
$$\left(\begin{array}{c}k\in \mathbb{Z}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\right)$$

然后，求解一个涉及 $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ 的导数和变量 $\mathit{a}$ 的方程组。

syms f(x) a
eq1 = diff(f,x) == 3*a - 2*x;
eq2 = diff(f,x) == a + x^2;
[Df,asol] = solve([eq1 eq2],diff(f,x),a)

Df = 
$$\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2}{2}+x$$

asol = 
$$\frac{x^2}{2}+x$$

输出 Df 表示 diff(f,x) 的解。基于这个解，您可以使用 dsolve 来求解关于 $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ 的微分方程。

fsol(x) = dsolve(diff(f,x) == Df)

fsol(x) = 
$$C_1+\frac{x^2\hspace{0.17em}\left(x+1\right)}{2}$$