linsolve

使用 mldivide 和 linsolve 求解线性系统以比较性能。

mldivide 是在 MATLAB® 中求解大多数线性系统的推荐方法。不过，该函数会对输入矩阵执行几项检查，以确定它是否具有任何特殊属性。如果您事先了解系数矩阵的属性，则可以使用 linsolve 来避免对大型矩阵进行耗时的检查。

创建一个 10000×10000 幻方矩阵，并提取下三角部分。将 opts 结构体的 LT 字段设置为 true 以指示 A 是下三角矩阵。

A = tril(magic(1e4));
opts.LT = true;

创建由 1 组成的向量作为线性方程 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ 的右侧。A 和 b 中的行数必须相等。

b = ones(size(A,2),1);

使用 mldivide 求解线性系统 $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$，并对计算计时。

tic
x1 = A\b; 
t1 = toc

t1 = 
0.0392

现在，使用 linsolve 再次求解该方程组。指定 options 结构体，以便 linsolve 可以为下三角矩阵选择合适的求解器。

tic
x2 = linsolve(A,b,opts);
t2 = toc

t2 = 
0.0159

比较执行时间，查看 linsolve 快了多少。与任何计时比较一样，不同计算机和不同版本的 MATLAB 产生的计时结果可能不同。

speedup = t1/t2

speedup = 
2.4732

使用具有两个输出的 linsolve 求解线性系统，以隐藏矩阵条件警告。

创建一个 20×20 希尔伯特测试矩阵。此矩阵接近奇异矩阵，最大奇异值比最小奇异值大 2e18 左右。

A = hilb(20);

使用 linsolve 求解涉及 A 的线性系统。由于 A 接近奇异矩阵，linsolve 返回警告。

b = ones(20,1);
x = linsolve(A,b);

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  5.628781e-20.

现在，求解同一个线性系统，但为 linsolve 指定两个输出。MATLAB® 隐藏警告，第二个输出 r 包含 A 的条件数倒数。您可以使用此语法处理代码中具有特殊情况的病态矩阵，而代码不会产生警告。

[x,r] = linsolve(A,b)

x = 20×1
109 ×

   -0.0000
    0.0000
   -0.0004
    0.0071
   -0.0592
    0.2819
   -0.7821
    1.1830
   -0.7030
   -0.1061
   -0.7593
    2.5970
   -2.4576
    1.9660
   -3.2871
      ⋮

r = 
5.6288e-20