以数值方式求解二阶微分方程

此示例说明如何将二阶微分方程转换为可以使用 MATLAB® 的数值求解器 ode45 求解的微分方程组。

求解高阶常微分方程的典型方法是将其转化为一阶微分方程组，然后求解这些方程组。此示例使用 Symbolic Math Toolbox™ 将二阶 ODE 转换为一阶 ODE 方程组。然后使用 MATLAB 求解器 ode45 来求解方程组。

使用 odeToVectorField 重写下面的二阶微分方程

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = (1 - y^{2}) \frac{d y}{d t} - y$

（通过变量替换实现）。令 $y (t) = Y_{1}$ ， $\frac{d y}{d t} = Y_{2}$ ，对这两个方程进行微分，得到一个一阶微分方程组。

$\begin{array}{c} \frac{d Y_{1}}{d t} = Y_{2} \\ \frac{d Y_{2}}{d t} = - (Y_{1}^{2} - 1) Y_{2} - Y_{1} \end{array}$

syms y(t)
[V] = odeToVectorField(diff(y, 2) == (1 - y^2)*diff(y) - y)

V = 
 $(\begin{array}{c} Y_{2} \\ - ({Y_{1}}^{2} - 1) Y_{2} - Y_{1} \end{array})$

MATLAB ODE 求解器不接受符号表达式作为输入。因此，在使用 MATLAB ODE 求解器求解方程组之前，必须将该方程组转换为 MATLAB 函数。使用 matlabFunction，并以 V 作为输入，从这个一阶微分方程组生成 MATLAB 函数。

M = matlabFunction(V,'vars', {'t','Y'})

M = function_handle with value:
    @(t,Y)[Y(2);-(Y(1).^2-1.0).*Y(2)-Y(1)]

要求解该方程组，请调用 MATLAB ode45 数值求解器，并使用生成的 MATLAB 函数作为输入。

sol = ode45(M,[0 20],[2 0]);

使用 linspace 在区间 [0,20] 内生成 100 个点，并使用 deval 对每个点求解，从而绘制解。

fplot(@(x)deval(sol,x,1), [0, 20])

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

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