subs

将此表达式中的 a 替换为 4。

syms a b
expr = subs(a + b,a,4)

expr = $$b+4$$

将此表达式中的 a*b 替换为 5。

expr = subs(a*b^2,a*b,5)

expr = $$5\hspace{0.17em}b$$

将以下表达式中的默认符号标量变量代换为 a。如果您未指定要替换的标量变量或表达式，则 subs 使用 symvar 来查找默认变量。对于 x + y，默认变量为 x。

syms x y a
var = symvar(x + y,1)

var = $$x$$

因此，subs 将 x 替换为 a。

expr = subs(x + y,a)

expr = $$a+y$$

在为某个符号标量变量赋新值后，包含该变量的表达式不会自动进行计算。在这种情况下，需使用 subs 来计算表达式。

定义表达式 y = x^2。

syms x
y = x^2;

将 2 赋值给 x。y 的值仍然是 x^2，而不是 4。

x = 2;
y

y = $$x^2$$

使用 subs，根据 x 的新值来计算 y。

yeval = subs(y)

yeval = $$4$$

通过以向量形式指定要代换的变量和新值来进行多次代换。

syms a b
expr = subs(cos(a) + sin(b), [a,b], [sym("alpha"),2])

expr = $$\sin \left(2\right)+\cos \left(\alpha \right)$$

或者，使用元胞数组进行多次代换。

expr = subs(cos(a) + sin(b), {a,b}, {sym("alpha"),2})

expr = $$\sin \left(2\right)+\cos \left(\alpha \right)$$

将此表达式中的符号标量变量 a 替换为 3×3 幻方矩阵。请注意，常量 1 扩展为一个 3×3 矩阵，其所有元素都等于 1。

syms a t
expr3by3 = subs(exp(a*t) + 1, a, -magic(3))

expr3by3 = 
$$\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{-8\hspace{0.17em}t}+1& {\mathrm{e}}^{-t}+1& {\mathrm{e}}^{-6\hspace{0.17em}t}+1\\ {\mathrm{e}}^{-3\hspace{0.17em}t}+1& {\mathrm{e}}^{-5\hspace{0.17em}t}+1& {\mathrm{e}}^{-7\hspace{0.17em}t}+1\\ {\mathrm{e}}^{-4\hspace{0.17em}t}+1& {\mathrm{e}}^{-9\hspace{0.17em}t}+1& {\mathrm{e}}^{-2\hspace{0.17em}t}+1\end{array}\right)$$

您还可以将向量、矩阵或数组中的某个元素替换为非标量值。例如，创建以下 2×2 矩阵。

A = sym("A",[2,2])

A = 
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\end{array}\right)$$

B = sym("B",[2,2])

B = 
$$\left(\begin{array}{cc}{B}_{1,1}& B_{1,2}\\ B_{2,1}& B_{2,2}\end{array}\right)$$

将矩阵 A 的第一个元素替换为矩阵 B。在进行此代换时，subs 将 2×2 矩阵 A 扩展为下面的 4×4 矩阵。

A4by4 = subs(A, A(1,1), B)

A4by4 = 
$$\left(\begin{array}{cccc}{B}_{1,1}& B_{1,2}& A_{1,2}& A_{1,2}\\ B_{2,1}& B_{2,2}& A_{1,2}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,1}& A_{2,2}& A_{2,2}\\ A_{2,1}& A_{2,1}& A_{2,2}& A_{2,2}\end{array}\right)$$

subs 不允许您将非标量或矩阵替换为会缩小矩阵大小的标量。

创建一个结构体数组，其字段值为符号表达式。

syms x y z
S = struct("f1",x*y,"f2",y + z,"f3",y^2)

S = struct with fields:
    f1: x*y
    f2: y + z
    f3: y^2

将符号标量变量 x、y 和 z 替换为数值。

Sval = subs(S,[x y z],[0.5 1 1.5])

Sval = struct with fields:
    f1: 1/2
    f2: 5/2
    f3: 1

将表达式中的符号标量变量 x 和 y 替换为下面的 2×2 矩阵。当进行涉及向量或矩阵的多次代换时，请使用元胞数组来指定要代换的变量及其新值。

syms x y
expr = subs(x*y, {x,y}, {[0 1; -1 0], [1 -1; -2 1]})

expr = 
$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$$

请注意，由于 x 和 y 是标量，因此这些代换是按元素进行的。

expr = [0 1; -1 0].*[1 -1; -2 1]

expr = 2×2

     0    -1
     2     0

在一个方程中，利用另一个方程的变量值来消除标量变量。在第二个方程中，使用 isolate 将变量隔离在左侧，然后在第一个方程中将该变量代换为右侧。

首先，声明方程 eqn1 和 eqn2。

syms x y
eqn1 = sin(x)+y == x^2 + y^2;
eqn2 = y*x == cos(x);

使用 isolate 将 y 从 eqn2 中隔离出来。

eqn2 = isolate(eqn2,y)

eqn2 = 
$$y=\frac{\cos \left(x\right)}{x}$$

通过用 eqn2 的右侧代换 eqn2 的左侧，从 eqn1 中消除 y。

eqn1 = subs(eqn1,lhs(eqn2),rhs(eqn2))

eqn1 = 
$$\sin \left(x\right)+\frac{\cos \left(x\right)}{x}=\frac{{\cos \left(x\right)}^2}{x^2}+x^2$$

在下面的符号函数中，将 x 替换为 a。

syms x y a
syms f(x,y)
f(x,y) = x + y;
f = subs(f,x,a)

f(x, y) = $$a+y$$

subs 替换符号函数公式中的值，但不会替换函数的输入参量。

formula = formula(f)

formula = $$a+y$$

args = argnames(f)

args = $$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$$

显式替换符号函数的参量。

syms x y
f(x,y) = x + y;
f(a,y) = subs(f,x,a);
f

f(a, y) = $$a+y$$

假设您想验证以下方程组的解。

syms x y
eqs = [x^2 + y^2 == 1, x == y];
S = solve(eqs,[x y]);
S.x

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$$

S.y

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$$

将解代入原方程组进行验证。

tf = isAlways(subs(eqs,S))

tf = 2×2 logical array

   1   1
   1   1

创建一个包含一阶导数和二阶导数的符号表达式。

syms r(t)
expr = diff(r,t,t) + diff(r,t)

expr(t) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }r\left(t\right)+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }r\left(t\right)$$

将一阶导数代换为另一个变量 ${\mathit{v}}_0$，将二阶导数代换为另一个变量 $\mathrm{D2r}$。为此，您必须首先代换高阶导数，即二阶导数。

syms v_0 D2r
exprnew = subs(expr,diff(r,t,t),D2r);
exprnew = subs(exprnew,diff(r,t),v_0)

exprnew(t) = $$\mathrm{D2r}+v_0$$

您还可以通过将要替换的变量及其替换项指定为向量，在单个 subs 调用中进行这些代换。

exprnew = subs(expr,[diff(r,t,t) diff(r,t)],[D2r v_0])

exprnew(t) = $$\mathrm{D2r}+v_0$$

如果您只想代换一阶导数，而保留二阶导数不变，则可以通过将临时变量 $\mathrm{D2r}$ 改回 $\frac{{\partial }^2}{\partial {\mathit{t}}^2}\mathit{r}\left(\mathit{t}\right)$ 来继续之前的流程。

exprnew = subs(exprnew,D2r,diff(r,t,t))

exprnew(t) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }r\left(t\right)+v_0$$

为了进行比较，如果您首先用 ${\mathit{v}}_0$ 代换原始表达式中的一阶导数，则结果为 ${\mathit{v}}_0$。此处，subs 将一阶导数替换为 ${\mathit{v}}_0$，将二阶导数替换为 $\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\frac{\partial \mathit{r}\left(\mathit{t}\right)}{\partial \mathit{t}}=\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}{\mathit{v}}_0=0$。这样代换得到的表达式中不包含二阶导数。

syms v_0
exprnew = subs(expr,diff(r,t),v_0)

exprnew(t) = $$v_0$$

自 R2021b 起

定义两个 2×2 矩阵的乘积。将矩阵声明为 symmatrix 数据类型的符号矩阵变量。

syms X Y [2 2] matrix
sM = X*Y

sM = $$X\hspace{0.17em}Y$$

将矩阵变量 $$X$$ 和 $$Y$$ 替换为 2×2 符号矩阵。当进行涉及向量或矩阵的多次代换时，请使用元胞数组来指定要代换的矩阵变量及其新值。新值必须与要代换的矩阵变量具有相同的大小。

S = subs(sM,{X,Y},{[0 sqrt(sym(2)); sqrt(sym(2)) 0], [1 -1; -2 1]})

S = 
$$\begin{array}{l}{\Sigma }_1\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}-2\hspace{0.17em}\sqrt{2}& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& -\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$$

将表达式 S 转换为 sym 数据类型，以显示代换后的矩阵乘法结果。

Ssym = symmatrix2sym(S)

Ssym = 
$$\left(\begin{array}{cc}-2\hspace{0.17em}\sqrt{2}& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& -\sqrt{2}\end{array}\right)$$

自 R2021b 起

创建符号数矩阵。

A = sym([1 4 2; 4 1 2; 2 2 3])

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 4& 1& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$$

使用 charpoly 函数计算 A 的特征多项式系数。

c = charpoly(A)

c = $$\left(\begin{array}{cccc}1& -5& -17& 21\end{array}\right)$$

接下来，将 $$X$$ 定义为一个 3×3 符号矩阵变量。使用系数 c 创建多项式 $$p(X)=c_1{X}^3+c_2{X}^2+c_{3}X+c_4{I}_3$$，其中 $$X$$ 是一个不定元，表示一个 3×3 矩阵。

syms X [3 3] matrix
p = c(1)*X^3 + c(2)*X^2 + c(3)*X + c(4)*X^0

p = $$21\hspace{0.17em}{\mathrm{I}}_3-17\hspace{0.17em}X-5\hspace{0.17em}{X}^2+X^3$$

使用 subs 函数将多项式 $$p(X)$$ 中的 $$X$$ 代换为 A。根据凯莱-哈密顿定理，系数 c 是 A 的特征多项式，因此这个代换的结果是一个 3×3 的零矩阵。使用 symmatrix2sym 将代换后的表达式转换为符号数矩阵。

Y = subs(p,A)

Y = 
$$\begin{array}{l}-17\hspace{0.17em}{\Sigma }_1-5\hspace{0.17em}{{\Sigma }_1}^2+{{\Sigma }_1}^3+21\hspace{0.17em}{\mathrm{I}}_3\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 4& 1& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Z = symmatrix2sym(Y)

Z = 
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

自 R2022a 起

定义函数 $\mathit{f}\left(\mathit{A}\right)={\mathit{A}}^2-2\mathit{A}+{\mathrm{I}}_2$，其中 $\mathit{A}$ 是一个 2×2 矩阵，${\mathrm{I}}_2$ 是一个 2×2 单位矩阵。将变量 $\mathit{A}$ 代换为另一个表达式，并计算新函数。

创建一个 2×2 符号矩阵变量 $\mathit{A}$。创建符号矩阵函数 $\mathit{f}\left(\mathit{A}\right)$，保留工作区中 $\mathit{A}$ 的现有定义。将多项式表达式赋给 $\mathit{f}\left(\mathit{A}\right)$。

syms A 2 matrix
syms f(A) 2 matrix keepargs
f(A) = A*A - 2*A + eye(2)

f(A) = $${\mathrm{I}}_2-2\hspace{0.17em}A+A^2$$

接下来，创建新的符号矩阵变量 $\mathit{B}$ 和 $\mathit{C}$。创建新的符号矩阵函数 $\mathit{g}\left(\mathit{B},\mathit{C}\right)$，保留工作区中 $\mathit{B}$ 和 $\mathit{C}$ 的现有定义。

syms B C 2 matrix
syms g(B,C) 2 matrix keepargs

将 $\mathit{f}\left(\mathit{A}\right)$ 中的变量 $\mathit{A}$ 代换为 $\mathit{B}+\mathit{C}$。将代换后的结果赋给新函数 $\mathit{g}\left(\mathit{B},\mathit{C}\right)$。

g(B,C) = subs(f,A,B+C)

g(B, C) = $${\left(B+C\right)}^2+{\mathrm{I}}_2-2\hspace{0.17em}B-2\hspace{0.17em}C$$

使用 subs 计算矩阵值 $\mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ 和 $\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right]$ 对应的 $\mathit{g}\left(\mathit{B},\mathit{C}\right)$。

S = subs(g(B,C),{B,C},{[0 1; -1 0],[1 -1; -2 1]})

S = 
$$\begin{array}{l}-2\hspace{0.17em}{\Sigma }_1-2\hspace{0.17em}{\Sigma }_2+{\left({\Sigma }_1+{\Sigma }_2\right)}^2+{\mathrm{I}}_2\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right)\end{array}$$

将表达式 S 从 symmatrix 数据类型转换为 sym 数据类型，以显示代换后的多项式的结果。

Ssym = symmatrix2sym(S)

Ssym = 
$$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

自 R2022b 起

定义方程 $\frac{\partial }{\partial X^{\mathrm{T}}}\mathrm{}\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{}f\left(X,A\right)=2A$，其中 $\mathit{A}$ 是一个 3×3 矩阵，$\mathit{X}$ 是一个 3×1 矩阵。将 $f(\mathit{X},\mathit{A})$ 代换为另一个符号表达式，将 $\mathit{A}$ 代换为符号值。检查该方程对于这些值是否成立。

创建两个符号矩阵变量 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{X}$。创建符号矩阵函数 $f(\mathit{X},\mathit{A})$，保留工作区中 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{X}$ 的现有定义。创建方程。

syms A [3 3] matrix
syms X [3 1] matrix
syms f(X,A) [1 1] matrix keepargs
eq = diff(diff(f,X),X.') == 2*A

eq(X, A) = 
$$\frac{\partial }{\partial X^{\mathrm{T}}}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{ }f\left(X,A\right)=2\hspace{0.17em}A$$

将 $f(\mathit{X},\mathit{A})$ 代换为 ${\mathit{X}}^{\mathit{T}}\mathit{AX}$，并计算该表达式中方程的二阶微分函数。

eq = subs(eq,f,X.'*A*X)

eq(X, A) = $$A^{\mathrm{T}}+A=2\hspace{0.17em}A$$

将 $\mathit{A}$ 代换为 3 阶希尔伯特矩阵。

eq = subs(eq,A,hilb(3))

eq(X, A) = 
$$\begin{array}{l}{\Sigma }_1+{{\Sigma }_1}^{\mathrm{T}}=2\hspace{0.17em}{\Sigma }_1\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right)\end{array}$$

使用 isAlways 检查方程对于这些值是否成立。因为 isAlways 只接受 symfun 类型或 sym 类型的符号输入，所以在使用 isAlways 之前，请将 eq 从 symfunmatrix 类型转换为 symfun 类型。

tf = isAlways(symfunmatrix2symfun(eq))

tf = 3×3 logical array

   1   1   1
   1   1   1
   1   1   1

自 R2023b 起

定义表达式 $\mathit{X}{\mathit{Y}}^2-\mathit{Y}{\mathit{X}}^2$，其中 $\mathit{X}$ 和 $\mathit{Y}$ 是 3×3 矩阵。将矩阵创建为符号矩阵变量。

syms X Y [3 3] matrix
C = X*Y^2 - Y*X^2

C = $$X\hspace{0.17em}{Y}^2-Y\hspace{0.17em}{X}^2$$

为矩阵 X 和 Y 赋值。

X = [-1 2 pi; 0 1/2 2; 2 1 0];
Y = [3 2 2; -1 2 1; 1 2 -1];

使用 subs 以 X 和 Y 的赋值计算表达式 C。

Cnew = subs(C)

Cnew = 
$$\begin{array}{l}-{\Sigma }_1\hspace{0.17em}{{\Sigma }_2}^2+{\Sigma }_2\hspace{0.17em}{{\Sigma }_1}^2\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ -1& 2& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& \pi \\ 0& \frac{1}{2}& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\end{array}$$

将结果从 symmatrix 数据类型转换为 double 数据类型。

Cnum = double(Cnew)

Cnum = 3×3

  -42.8496  -13.3584  -13.4336
   -0.7168    3.1416    0.0752
   -3.2832   29.8584   16.4248