euler

欧拉数和欧拉多项式

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语法

euler(n)
euler(n,x)

说明

euler(n) 返回第 n 个欧拉数。

示例

euler(n,x) 返回第 n 个欧拉多项式。

示例

示例

具有奇数索引的欧拉数和具有偶数索引的欧拉数

具有偶数索引的欧拉数符号交替变化。任何具有奇数索引的欧拉数均为 0。

计算索引从 0 到 10 的偶数索引欧拉数：

euler(0:2:10)
ans =
           1          -1           5         -61...
        1385      -50521

计算索引从 1 到 11 的奇数索引欧拉数：

euler(1:2:11)
ans =
     0     0     0     0     0     0

欧拉多项式

对于欧拉多项式，需使用具有两个输入参量的 euler。

分别计算变量 x、y 和 z 对应的一阶、二阶和三阶欧拉多项式：

syms x y z
euler(1, x)
euler(2, y)
euler(3, z)
ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + 1/4

如果第二个参量是数值，euler 会计算多项式在该数值处的值。此处结果为浮点数，因为输入参量不是符号数：

euler(2, 1/3)
ans =
   -0.2222

要获取精确的符号结果，请将至少一个数值转换为符号对象：

euler(2, sym(1/3))
ans =
-2/9

绘制欧拉多项式

绘制前六个欧拉多项式。

syms x
fplot(euler(0:5, x), [-1 2])
title('Euler Polynomials')
grid on

Figure contains an axes object. The axes object with title Euler Polynomials contains 6 objects of type functionline.

处理包含欧拉多项式的表达式

许多函数（例如 diff 和 expand）能够处理包含 euler 的表达式。

求欧拉多项式的一阶导数和二阶导数：

syms n x
diff(euler(n,x^2), x)
ans =
2*n*x*euler(n - 1, x^2)
diff(euler(n,x^2), x, x)
ans =
2*n*euler(n - 1, x^2) + 4*n*x^2*euler(n - 2, x^2)*(n - 1)

展开这些包含欧拉多项式的表达式：

expand(euler(n, 2 - x))
ans =
2*(1 - x)^n - (-1)^n*euler(n, x)
expand(euler(n, 2*x))
ans =
(2*2^n*bernoulli(n + 1, x + 1/2))/(n + 1) -...
(2*2^n*bernoulli(n + 1, x))/(n + 1)

输入参数

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欧拉数或欧拉多项式的索引，指定为非负整数、符号非负整数、符号变量、符号表达式、符号函数、符号向量或符号矩阵。如果 n 是向量或矩阵，euler 会返回 n 中每个元素对应的欧拉数或欧拉多项式。如果一个输入参量是标量，另一个是向量或矩阵，euler(n,x) 会将标量扩展为与另一个参量大小相同的向量或矩阵，其中所有元素都等于该标量。

多项式变量，指定为符号变量、符号表达式、符号函数、符号向量或符号矩阵。如果 x 是向量或矩阵，euler 会返回 x 中每个元素对应的欧拉数或欧拉多项式。当您使用 euler 函数求欧拉多项式时，至少有一个参量必须是标量，或者两个参量必须是大小相同的向量或矩阵。如果一个输入参量是标量，另一个是向量或矩阵，euler(n,x) 会将标量扩展为与另一个参量大小相同的向量或矩阵，其中所有元素都等于该标量。

详细信息

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提示

  • 对于欧拉数的另一种含义 (e = 2.71828…)，调用 exp(1) 可返回其双精度表示。要获取欧拉数 e 的精确表示，请调用 exp(sym(1))。

  • 对于欧拉-马歇罗尼常数，请参阅 eulergamma。

版本历史记录

在 R2014a 中推出

另请参阅

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