piecewise

使用 piecewise 定义以下分段表达式。

syms x
y = piecewise(x < 0,-1,x > 0,1)

y = 
$$\{\begin{array}{cl}-1& \text{ if }x<0\\ 1& \text{ if }0<x\end{array}$$

使用 subs 对 x 进行代入，计算 y 在 -2、0 和 2 处的值。由于 y 在 x = 0 处未定义，因此值为 NaN。

subs(y,x,[-2 0 2])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}-1& \mathrm{NaN}& 1\end{array}\right)$$

以符号形式定义以下函数。

syms y(x)
y(x) = piecewise(x < 0,-1,x > 0,1)

y(x) = 
$$\{\begin{array}{cl}-1& \text{ if }x<0\\ 1& \text{ if }0<x\end{array}$$

由于 y(x) 是符号函数，您可以直接针对 x 的值对其进行计算。计算 y(x) 在 -2、0 和 2 处的值。由于 y(x) 在 x = 0 处未定义，因此值为 NaN。有关详细信息，请参阅创建符号函数。

y([-2 0 2])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}-1& \mathrm{NaN}& 1\end{array}\right)$$

通过指定一个附加的输入参量，设置分段函数在没有条件为 true 时的值（称为 otherwise 值）。如果未指定附加参量，函数的默认 otherwise 值为 NaN。

定义分段函数

syms y(x)
y(x) = piecewise(x < -2,-2,(-2 < x) & (x < 0),0,1)

y(x) = 
$$\{\begin{array}{cl}-2& \text{ if }x<-2\\ 0& \text{ if }x\in \left(-2,0\right)\\ 1& \mathrm{ otherwise}\end{array}$$

使用 linspace 生成 x 的值，计算 y(x) 在 -3 到 1 之间的值。在 -2 和 0 处，y(x) 的计算结果为 1，因为其他条件均不为 true。

xvalues = linspace(-3,1,5)

xvalues = 1×5

    -3    -2    -1     0     1

yvalues = y(xvalues)

yvalues = $$\left(\begin{array}{ccccc}-2& 1& 0& 1& 1\end{array}\right)$$

使用 fplot 绘制以下分段表达式。

syms x
y = piecewise(x < -2,-2,-2 < x < 2,x,x > 2,2);
fplot(y)

分段表达式在创建时会应用现有的假设。要应用在创建分段表达式后设置的假设，请对表达式使用 simplify。

假设 x > 0。然后定义具有相同条件 x > 0 的分段表达式。piecewise 会自动应用该假设来简化条件。

syms x
assume(x > 0)
pw = piecewise(x < 0,-1,x > 0,1)

pw = $$1$$

为了执行进一步的计算，请清除对 x 的假设。

assume(x,"clear")

创建具有条件 x > 0 的分段表达式 pw。然后设置 x > 0 的假设。使用 simplify 应用对 pw 的假设。

pw = piecewise(x < 0,-1,x > 0,1);
assume(x > 0)
pw = simplify(pw)

pw = $$1$$

为了执行进一步的计算，请清除对 x 的假设。

assume(x,"clear")

分别使用 diff、int 和 limit 对分段表达式进行求导、积分和求极限。

使用 diff 对以下分段表达式进行求导。

syms x
y = piecewise(x < -1,1/x,x >= -1,sin(x)/x);
diffy = diff(y,x)

diffy = 
$$\{\begin{array}{cl}-\frac{1}{x^2}& \text{ if }x<-1\\ \frac{\cos \left(x\right)}{x}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}& \text{ if }-1<x\end{array}$$

使用 int 对 y 进行积分。

inty = int(y,x)

inty = 
$$\{\begin{array}{cl}\log \left(x\right)& \text{ if }x<-1\\ \mathrm{sinint}\left(x\right)& \text{ if }-1\le x\end{array}$$

使用 limit 求 y 在 0 处的极限。

limit(y,x,0)

ans = $$1$$

求 y 在 -1 处的右极限和左极限。有关详细信息，请参阅limit。

limit(y,x,-1,"right")

ans = $$\sin \left(1\right)$$

limit(y,x,-1,"left")

ans = $$-1$$

对两个分段表达式进行加、减、除和乘运算。所得的分段表达式仅在定义了初始分段表达式的区域内有定义。

syms x
pw1 = piecewise(x < -1,-1,x >= -1,1);
pw2 = piecewise(x < 0,-2,x >= 0,2);
add = pw1+pw2

add = 
$$\{\begin{array}{cl}-3& \text{ if }x<-1\\ -1& \text{ if }x\in \left[-1,0\right)\\ 3& \text{ if }0\le x\end{array}$$

sub = pw1-pw2

sub = 
$$\{\begin{array}{cl}1& \text{ if }x<-1\\ 3& \text{ if }x\in \left[-1,0\right)\\ -1& \text{ if }0\le x\end{array}$$

mul = pw1*pw2

mul = 
$$\{\begin{array}{cl}2& \text{ if }x<-1\\ -2& \text{ if }x\in \left[-1,0\right)\\ 2& \text{ if }0\le x\end{array}$$

div = pw1/pw2

div = 
$$\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2}& \text{ if }x<-1\\ -\frac{1}{2}& \text{ if }x\in \left[-1,0\right)\\ \frac{1}{2}& \text{ if }0\le x\end{array}$$

使用 children 函数从分段表达式中提取条件和值。

syms x
pw = piecewise(x < -2,sin(x),(-2 < x) & (x < 2),x,2 < x,exp(-x))

pw = 
$$\{\begin{array}{cl}\sin \left(x\right)& \text{ if }x<-2\\ x& \text{ if }x\in \left(-2,2\right)\\ {\mathrm{e}}^{-x}& \text{ if }2<x\end{array}$$

c = children(pw);
pwExpr = [c{:,1}]

pwExpr = $$\left(\begin{array}{ccc}\sin \left(x\right)& x& {\mathrm{e}}^{-x}\end{array}\right)$$

pwCond = [c{:,2}]

pwCond = $$\left(\begin{array}{ccc}x<-2& -2<x\wedge x<2& 2<x\end{array}\right)$$

使用 subs 替换分段表达式的部分内容以修改该表达式。通过将分段表达式指定为新分段表达式的 otherwise 值来扩展该表达式。此操作将合并两个分段表达式。piecewise 不会检查条件是否重叠或冲突。而是像 if-else 梯形结构一样，piecewise 会返回第一个 true 条件对应的值。

使用 subs 将分段表达式中的条件 x < 2 更改为 x < 0。

syms x
pw = piecewise(x < 2,-1,x > 0,1);
pw = subs(pw,x < 2,x < 0)

pw = 
$$\{\begin{array}{cl}-1& \text{ if }x<0\\ 1& \text{ if }0<x\end{array}$$

通过创建一个以 pw 为 otherwise 值的新分段表达式，向 pw 中添加条件 x > 5 及对应的值 1/x。

pw = piecewise(x > 5,1/x,pw)

pw = 
$$\{\begin{array}{cl}\frac{1}{x}& \text{ if }5<x\\ -1& \text{ if }x<0\\ 1& \text{ if }0<x\end{array}$$

自 R2025a 起

定义一个包含分段表达式的方程组。第一个方程针对 $0<x<2$ 和 $2<x<4$ 这两个条件定义变量 $y$。第二个方程针对相同的两个条件定义 $x\cdot y$。

syms x y
eq1 = y == piecewise((0 < x) & (x < 2),x^2 + x - 2,(2 < x) & (x < 4),3/2*x)

eq1 = 
$$\{\begin{array}{cl}y=x^2+x-2& \text{ if }x\in \left(0,2\right)\\ y=\frac{3\hspace{0.17em}x}{2}& \text{ if }x\in \left(2,4\right)\end{array}$$

eq2 = y*x == piecewise((0 < x) & (x < 2),x - 1,(2 < x) & (x < 4),9)

eq2 = 
$$\{\begin{array}{cl}x\hspace{0.17em}y=x-1& \text{ if }x\in \left(0,2\right)\\ x\hspace{0.17em}y=9& \text{ if }x\in \left(2,4\right)\end{array}$$

为求解此方程组，首先将第二个方程中的变量 $y$ 代换为第一个方程中 $y$ 的表达式。您可以使用 lhs 和 rhs 函数获取第一个方程的左侧和右侧。

eq2 = subs(eq2,lhs(eq1),rhs(eq1))

eq2 = 
$$\{\begin{array}{cl}x\hspace{0.17em}\left(x^2+x-2\right)=x-1& \text{ if }x\in \left(0,2\right)\\ \frac{3\hspace{0.17em}{x}^2}{2}=9& \text{ if }x\in \left(2,4\right)\end{array}$$

然后，求解第二个方程关于变量 $x$ 的值。

sols = solve(eq2,x)

sols = 
$$\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{6}\\ \sqrt{2}-1\end{array}\right)$$

其中，$x=1$ 和 $x=\sqrt{2}-1$ 是满足条件 $0<x<2$ 的解，而 $x=\sqrt{6}$ 是满足条件 $2<x<4$ 的解。