App Designerの内部で使用しているChromiumブラウザの制約でH264で圧縮されたmp4動画が再生できないためと思われます。
解決策としては2つあります。
(1) OGGフォーマットの動画を使用する
OGGフォーマットの動画ならChromiumブラウザでも再生できるので、ネットにあるMP4→OGGのコンバーターなどを使用して動画を変換し、それをuihtmlのHTMLで追記します。
<video width="320" height="240" controls style="padding-left:20px">
<source src="./sample.mp4" type="video/mp4">
<source src="./sample.oga" type="video/ogg">
HTMLのvideoタグにsourceが複数あると、ブラウザ側がレンダリングする際に使用できないフォーマットだと次のsourceを使用するようになります。
(2) UIAxesを使用する
もう一つの方法としては、uihtmlではなくuiaxesを使用して動画を表示する方法です。
UIAxes(座標軸)をアプリのキャンバスに置いて、ボタンクリック時のコールバックなどに、動画を表示する処理を入れてみたら実現可能です。
v = VideoReader('sample.mp4');
image(vidFrame, 'Parent', currAxes);
currAxes.Visible = 'off';