I work in problem of thermal storage energy where the fluide is the air, and I want to realise a modelisation to have the profil of temperature of the fluid, the solid and the wall . Theses tree equations describe the energy heat balance where the fluid, the solid and the wall are identified by "f", "s", "w" respectively as follows:
eq 1 : ρf*cpf ∂Tf/∂t + ρf*cpf*v*∂Tf/∂x = λf*∂²Tf/∂x² + h ( Ts_in− Tf).
eq 2: ρs*cps ∂Ts/∂t = λs*∂²Ts/∂x² + ∂²Ts/∂r² + (1/r)*∂Ts/∂r + h*( Tf − Ts_in) + hw*Aw,f *Vf ( Tw − Tf ).
eq 3 : ρw*cpw ∂Tw/∂t = hw Aw,f Vw ( Tf − Tw ).
with : rho_f = 1.27 # Densité du fluide (kg/m³)
cp_f = 1006.0 # Capacité thermique du fluide (J/kg.K)
lambda_f = 0.025 # Conductivité thermique du fluide (W/m.K)
v_f = 1.24 # Vitesse du fluide (m/s)
h = 1000.0 # Coefficient d'échange thermique entre le solide et le fluide (W/m².K)
rho_s = 3.91 # Densité du solide (kg/m³)
cp_s = 800.0 # Capacité thermique du solide (J/kg.K)
lambda_s = 1.61 # Conductivité thermique du solide (W/m.K)
h_w = 500.0 # Coefficient d'échange thermique entre le solide et le mur (W/m².K)
rho_w = 900.0 # Densité du mur (kg/m³)
cp_w = 1000.0 # Capacité thermique du mur (J/kg.K)
h_ext = 10.0 # Coefficient d'échange thermique entre le mur et l'extérieur (W/m².K)
A_w = 0.01 # Surface du mur (m²)
V_f = 0.001 # Volume du fluide dans le lit (m³)
V_w = 0.0001 # Volume du mur (m³)
Tf_in = 800.0 # Température d'entrée du fluide (°C)
Ts_in = 800.0 # Température initiale du solide (°C)
Tw_in = 60.0 # Température initiale du mur (°C)
the results shoud appear like the photo. 
