質問者様のコードでは、insetさせるAxesが、subplot(1,2,2)の下に配置されてしまって表示が見えなくなってしまっています。
そのため、insetさせるAxesはsubplot(1,2,2)の後に記述し、前面に表示させる必要があります。
close all;
figure('Position', [50 50 1000 400]);
x1 = 0:0.01:pi;
x2 = 0:0.01:pi/6;
y1 = sin(x1);
y2 = sin(x2);
z1 = cos(x1);
subplot(1,2,1);
plot(x1,y1);
subplot(1,2,2);
plot(x1,z1);
axes('Position',[.7 .7 .2 .2]);
box on
plot(x2,y2);
