頂点に誤差のある面積の最大値を求めるには？

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tetunari sogabe
tetunari sogabe 2017-2-4
评论： Tohru Kikawada 2017-2-6
15角形の各頂点に1㎝の誤差がある時、面積の最大値を求めるにはどうすればよいでしょうか？
X Y
160 51
167 67
184 102
190 122
185 133
171 136
153 138
115 122
85 103
54 64
66 45
87 34
122 43
133 46
160 51

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mizuki
mizuki 2017-2-4
最大面積となる頂点は最適化計算で求めることができます。 多角形の面積は頂点 i, i+1, 中心 の三角形の面積の和ですので、それを目的関数とします。 ここで定義した目的関数を最大にするような15つの頂点を最適化で求めます。 制約条件として、それぞれの変数が定義されている数値±1になる点を定義します。
最適化の関数はたくさんありますが、 fmincon 関数が適切だと思います。
なお、多角形の面積は以下のように polyarea 関数で求めることができます。
area_poly = polyarea(A(:,1), A(:,2));
多角形ではなく直方体の面積最大化の課題ですが、似たような例を以下のvideoで解説していますので、目的関数と制約条件の設定の参考にしてください。
- 最適化による課題解決とパフォーマンス向上
https://jp.mathworks.com/videos/optimization-to-solve-problems-and-improve-performance-116782.html
  1 个评论
Tohru Kikawada
Tohru Kikawada 2017-2-6
mizukiさんの提示された方法で実装した例が下記のものです。
ご参考まで。
function verticesOptimized = findVerticesMaximizingArea
% 頂点を定義
vertices = [160 51
167 67
184 102
190 122
185 133
171 136
153 138
115 122
85 103
54 64
66 45
87 34
122 43
133 46];
% 可視化
figure; patch(vertices(:,1),vertices(:,2),'b','FaceAlpha',.5);
axis equal;
hold on;
hopt = patch(vertices(:,1),vertices(:,2),'r','FaceAlpha',.5);
legend('x0','optimized');
% 非線形最適化問題として解く
x0 = reshape(vertices',[],1);
lb = x0-1;
ub = x0+1;
axis([min(lb(1:2:end-1)) max(ub(1:2:end-1)) ...
min(lb(2:2:end)) max(ub(2:2:end))]);
% 面積の逆数を目的関数とする
% (許容誤差に対して相対的に小さくなりすぎないように1000倍)
fun = @(x) 1/polyarea(x(1:2:end-1), x(2:2:end))*1000;
% OutputFcnを指定して各反復毎の値をプロット
options = optimoptions('fmincon','Display','iter',...
'PlotFcn',@optimplotfval,'OutputFcn',@outfun);
% 最適化を実行
verticesOptimized = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
% 途中の値の可視化
function stop = outfun(x,~,~)
stop = false;
set(hopt,{'XData','YData'},...
{x(1:2:end-1),x(2:2:end)}); % パッチのアップデート
pause(0.1); % 0.1ごとに表示
end
end
%

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