save()のオプションで指数表現をしない方法は分らなかったのですが、
代わりにwritematrix()を使うのはどうでしょう。
%初期化
clear
N=4;
%頭の数字でない文字列のファイル名
rootname = 'tonbo'; % ファイル名に使用する文字列
%保存するファイルの拡張子の指示
extension = '.txt'; % 拡張子
for k = 1:4
for x=1:N
for y=1:N
Data_trans(x,y)=N*(x-1)+y+0.1;
end
end
data = Data_trans;
filename = [rootname, num2str(k), extension]; % ファイル名の作成
writematrix(data,filename)
end