Problem 45248. Aquiles y la tortuga

Created by Carlos Andreu Vilarroig

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Todo parecía apuntar a que Aquiles vencería sin ninguna duda, pero las matemáticas parece que tenían algo que decir...</w:t></w:r></w:p><w:p><w:pPr><w:pStyle w:val=\"text\"/></w:pPr><w:r><w:t>Aquiles, al ser más veloz, le da una ventaja a la tortuga de medio kilómetro (1/2 = 0.5 km). En esta carrera, Aquiles corre a la mitad de la velocidad que la tortuga, y ambos mantienen su velocidad constante. Por ello, cuando Aquiles recorra medio kilómetro, la tortuga habrá avanzado la mitad de esa distancia (1/4 = 0.25 km). Y cuando Aquiles recorra el siguiente cuarto de kilómetro (0.25 km), la tortuga habrá avanzado la mitad de ésta (1/8 = 0.125 km). Si esta sucesión de distancias, cada vez más pequeñas, se repite hasta el infinito, entonces la tortuga siempre estará ligeramente más avanzada que Aquiles (aunque sea por una distancia infinitesimal) y, por lo tanto, la tortuga siempre ganará la carrera.</w:t></w:r></w:p><w:p><w:pPr><w:pStyle w:val=\"text\"/></w:pPr><w:r><w:t>Según Zenón, las infinitas distancias</w:t></w:r><w:r><w:t> </w:t></w:r><w:r><w:rPr><w:i/></w:rPr><w:t>{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...}</w:t></w:r><w:r><w:t> que tiene que recorrer Aquiles impiden que alcance a la tortuga, precisamente porque son infinitas. Sin embargo, en la realidad, es evidente que Aquiles alcanzará a la tortuga.</w:t></w:r></w:p><w:p><w:pPr><w:pStyle w:val=\"text\"/></w:pPr><w:r><w:t>En este problema se propone descubrir el secreto de la paradoja mediante una función que reciba como entrada el parámetro</w:t></w:r><w:r><w:t> </w:t></w:r><w:r><w:rPr><w:i/></w:rPr><w:t>n</w:t></w:r><w:r><w:t> y devuelva:</w:t></w:r></w:p><w:p><w:pPr><w:pStyle w:val=\"ListParagraph\"/><w:numPr><w:numId w:val=\"1\"/></w:numPr></w:pPr><w:r><w:t>La suma de las distancias de la sucesión</w:t></w:r><w:r><w:t> </w:t></w:r><w:r><w:rPr><w:i/></w:rPr><w:t>{1/2^n}</w:t></w:r><w:r><w:t> desde</w:t></w:r><w:r><w:t> </w:t></w:r><w:r><w:rPr><w:i/></w:rPr><w:t>1</w:t></w:r><w:r><w:t> hasta</w:t></w:r><w:r><w:t> </w:t></w:r><w:r><w:rPr><w:i/></w:rPr><w:t>n</w:t></w:r><w:r><w:t>. 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Contaba Zenón en su famosa paradoja que un día Aquiles, el guerrero griego más veloz de la Hélade, se enfrentó a una pequeña tortuga en una carrera. Todo parecía apuntar a que Aquiles vencería sin ninguna duda, pero las matemáticas parece que tenían algo que decir...Aquiles, al ser más veloz, le da una ventaja a la tortuga de medio kilómetro (1/2 = 0.5 km). En esta carrera, Aquiles corre a la mitad de la velocidad que la tortuga, y ambos mantienen su velocidad constante. Por ello, cuando Aquiles recorra medio kilómetro, la tortuga habrá avanzado la mitad de esa distancia (1/4 = 0.25 km). Y cuando Aquiles recorra el siguiente cuarto de kilómetro (0.25 km), la tortuga habrá avanzado la mitad de ésta (1/8 = 0.125 km). Si esta sucesión de distancias, cada vez más pequeñas, se repite hasta el infinito, entonces la tortuga siempre estará ligeramente más avanzada que Aquiles (aunque sea por una distancia infinitesimal) y, por lo tanto, la tortuga siempre ganará la carrera.Según Zenón, las infinitas distancias {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...} que tiene que recorrer Aquiles impiden que alcance a la tortuga, precisamente porque son infinitas. Sin embargo, en la realidad, es evidente que Aquiles alcanzará a la tortuga.En este problema se propone descubrir el secreto de la paradoja mediante una función que reciba como entrada el parámetro n y devuelva:<ul><li>La suma de las distancias de la sucesión {1/2^n} desde 1 hasta n. Las sumas anteriores deben almacenarse en un vector suma = [s1, s2, ..., sn].</li></ul><img src = "https://imgur.com/GZcLHQu.png"><ul><li>Una gráfica con la suma de las distancias (en km) frente a n.</li></ul>¿A qué valor se aproxima la suma cuando n tiende a infinito (prueba con un número n muy grande)? Por lo tanto, ¿a qué distancia alcanzará Aquiles a la tortuga?

Contaba Zenón en su famosa paradoja que un día Aquiles, el guerrero griego más veloz de la Hélade, se enfrentó a una pequeña tortuga en una carrera. Todo parecía apuntar a que Aquiles vencería sin ninguna duda, pero las matemáticas parece que tenían algo que decir...

Aquiles, al ser más veloz, le da una ventaja a la tortuga de medio kilómetro (1/2 = 0.5 km). En esta carrera, Aquiles corre a la mitad de la velocidad que la tortuga, y ambos mantienen su velocidad constante. Por ello, cuando Aquiles recorra medio kilómetro, la tortuga habrá avanzado la mitad de esa distancia (1/4 = 0.25 km). Y cuando Aquiles recorra el siguiente cuarto de kilómetro (0.25 km), la tortuga habrá avanzado la mitad de ésta (1/8 = 0.125 km). Si esta sucesión de distancias, cada vez más pequeñas, se repite hasta el infinito, entonces la tortuga siempre estará ligeramente más avanzada que Aquiles (aunque sea por una distancia infinitesimal) y, por lo tanto, la tortuga siempre ganará la carrera.

Según Zenón, las infinitas distancias _{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...}_ que tiene que recorrer Aquiles impiden que alcance a la tortuga, precisamente porque son infinitas. Sin embargo, en la realidad, es evidente que Aquiles alcanzará a la tortuga.

En este problema se propone descubrir el secreto de la paradoja mediante una función que reciba como entrada el parámetro _n_ y devuelva:

* La suma de las distancias de la sucesión _{1/2^n}_ desde _1_ hasta _n_. Las sumas anteriores deben almacenarse en un vector _suma = [s1, s2, ..., sn]_.

<<https://imgur.com/GZcLHQu.png>>

* Una gráfica con la _suma_ de las distancias (en km) frente a _n_.

¿A qué valor se aproxima la suma cuando _n_ tiende a infinito (prueba con un número _n_ muy grande)? Por lo tanto, ¿a qué distancia alcanzará Aquiles a la tortuga?

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