ctrb

状态空间模型的可控性

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语法

Co = ctrb(A,B)

Co = ctrb(sys)

说明

如果可以施加在有限时间内将系统驱动到任何状态的控制信号，则称动态系统可控。这种特性亦称可达性。ctrb 根据状态矩阵或状态空间模型计算可控性矩阵。您可以使用此矩阵来确定可控性。

例如，假设有一个具有 Nx 个状态、Ny 个输出和 Nu 个输入的连续时间状态空间模型：

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

此处，x、u 和 y 分别表示状态、输入和输出，而 A、B、C 和 D 是具有如下大小的状态空间矩阵：

A 是一个 Nx×Nx 实数值或复数值矩阵。
B 是一个 Nx×Nu 实数值或复数值矩阵。
C 是一个 Ny×Nx 实数值或复数值矩阵。
D 是一个 Ny×Nu 实数值或复数值矩阵。

如果由 ctrb $C o = [\begin{matrix} B & A B & A^{2} B & \dots & A^{n - 1} B \end{matrix}]$ 生成的可控性矩阵具有满秩，即秩等于状态空间模型中的状态数目，则系统可控。可控性矩阵 Co 具有 Nx 行和 Nxu 列。有关示例，请参阅 SISO 状态空间模型的可控性。

Co = ctrb(A,B) 使用状态矩阵 A 和输入-状态矩阵 B 返回可控性矩阵 Co。如果 Co 具有满秩，即 Co 的秩等于状态数目，则系统可控。

示例

Co = ctrb(sys) 返回状态空间模型 sys 的可控性矩阵。此语法等效于：

Co = ctrb(sys.A,sys.B);

示例

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检查系统可控性

打开实时脚本

定义 A 和 B 矩阵。

A = [1  1;
     4 -2];
B = [1 -1;
     1 -1];

计算可控性矩阵。

Co = ctrb(A,B);

确定不可控状态的数目。

unco = length(A) - rank(Co)

unco = 
1

不可控状态表示 Co 没有满秩 2。因此系统不可控。

SISO 状态空间模型的可控性

打开实时脚本

对于此示例，假设有以下具有 2 个状态的 SISO 状态空间模型：

$A = [\begin{array}{cc} - 1.5 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 0.5 \\ 0 \end{array}] C = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}] D = 1$

创建由以下状态空间矩阵定义的 SISO 状态空间模型：

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

计算可控性矩阵并求秩。

Co = ctrb(sys)

Co = 2×2

    0.5000   -0.7500
         0    0.5000

可控性矩阵的大小取决于 A 和 B 矩阵的大小。例如，如果矩阵 A 是 Nx×Nx 矩阵，矩阵 B 是 Nx×Nu 矩阵，则得到的矩阵 Co 具有 Nx 行和 Nxu 列。此处，Nx 是状态数目，Nu 是输入数目。

rank(Co)

ans = 
2

由于可控性矩阵 Co 的秩等于状态数目，因此系统 sys 可控。

您也可以仅使用 A 和 B 矩阵求可控性矩阵。

Co = ctrb(sys.A,sys.B);
rank(Co)

ans = 
2

输入参数

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`A` — 状态矩阵
`Nx`×`Nx` 矩阵

状态矩阵，指定为一个 Nx×Nx 矩阵，其中 Nx 是状态数。

`B` — 输入-状态矩阵
`Nx`×`Nu` 矩阵

输入-状态矩阵，指定为 Nx×Nu 矩阵，其中 Nx 是状态数，Nu 是输入数。

`sys` — 状态空间模型或模型数组
`ss` 模型对象 | `genss` 模型对象 | `uss` 模型对象

状态空间模型或模型数组，指定为：

状态空间 (ss) 模型对象（当输入 A、B、C 和 D 是数值矩阵或从另一个模型对象类型转换时）。
广义状态空间模型 (genss) 对象（当矩阵 A、B、C 和 D 中的一个或多个包括 realp 参数等可调参数或广义矩阵 (genmat) 时）。该函数使用可调参数的当前值。
不确定的状态空间模型 (uss) 对象（当输入 A、B、C 和 D 中的一个或多个包括不确定的矩阵时）。该函数使用不确定参数的标称值。使用不确定模型需要 Robust Control Toolbox™ 软件。

输出参量

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`Co` — 可控性矩阵
数组

可控性矩阵，以数组形式返回。如果 sys 为：

具有 Nx 个状态和 Nu 个输入的单个状态空间模型，则生成的数组 Co 具有 Nx 行和 Nxu 列。
状态空间模型数组 sys(:,:,j1,...,jN)，则 Co 是具有 N+2 个维度的数组，即 Co(:,:,j1,...,jN)。

参考

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.