您能证明一个解是全局的吗？

无法保证

如何判断是否已经找到目标函数的全局最小值？简短的回答是，您不能；您无法保证 Global Optimization Toolbox 求解器的结果是全局最优的。尽管所有 Global Optimization Toolbox 求解器都反复尝试寻找全局解，但没有求解器采用能够证明解为全局的算法。

但是，您可以使用本节中的策略来调查解。

使用 patternsearch 检查解是否为局部解

在确定一个所谓的解是否是全局最小值之前，首先要检查它是否是局部最小值。为此，请对问题运行 patternsearch。

要将 problem 转换为使用 patternsearch 而不是 fmincon 或 fminunc，请输入

problem.solver = 'patternsearch';

另外，将起点更改为刚刚找到的解，并清除选项：

problem.x0 = x;
problem.options = [];

例如，检查附近点显示以下内容：

options = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','active-set');
ffun = @(x)(x(1)-(x(1)-x(2))^2);
problem = createOptimProblem('fmincon', ...
    'objective',ffun,'x0',[1/2 1/3], ...
    'lb',[0 -1],'ub',[1 1],'options',options);
[x,fval,exitflag] = fmincon(problem)

x =
  1.0e-007 *
         0    0.1614

fval =
 -2.6059e-016

exitflag =
     1

然而，用 patternsearch 检查这个所谓的解表明存在更好的解。从报告的解 x 开始 patternsearch：

% set the candidate solution x as the start point
problem.x0 = x;
problem.solver = 'patternsearch';
problem.options = [];
[xp,fvalp,exitflagp] = patternsearch(problem)

Optimization terminated: mesh size less than options.MeshTolerance.

xp =

    1.0000   -1.0000


fvalp =

   -3.0000


exitflagp =

     1

确定包含全局解的有界区域

假设您有一个在有界区域内的平滑目标函数。只要有足够的时间和起点，MultiStart 最终会找到一个全局解。

因此，如果您可以边界全局解存在的区域，那么您就可以在一定程度上保证 MultiStart 能够找到全局解。

例如，考虑函数

$f = x^{6} + y^{6} + \sin (x + y) (x^{2} + y^{2}) - \cos (\frac{x^{2}}{1 + y^{2}}) (2 + x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}) .$

初始加数 x⁶ + y⁶ 迫使函数在 |x| 或 |y| 的较大值时变大且为正。函数全局最小值的分量必须在边界之内

–10 ≤ x,y ≤ 10,

因为 10⁶ 比函数其他加数中出现的所有 10⁴ 的倍数大得多。

您可以为该问题确定较小的边界；例如，全局最小值介于 -2 和 2 之间。确定合理的边界比确定最佳边界更重要。

将 MultiStart 用于更多起点

要检查您的问题是否有更好的解，请使用附加起点运行 MultiStart。执行此任务时使用 MultiStart 而不是 GlobalSearch，因为 GlobalSearch 不会从所有起点运行局部求解器。

例如，请参阅示例：寻找更好的解。