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微分方程

此示例说明如何使用 MATLAB® 构造几种不同类型的微分方程并求解。MATLAB 提供了多种数值算法来求解各种微分方程:

  • 初始值问题

  • 边界值问题

  • 时滞微分方程

  • 偏微分方程

初始值问题

vanderpoldemo 是用于定义 van der Pol 方程的函数

d2ydt2-μ(1-y2)dydt+y=0.

type vanderpoldemo
function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)
%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation for ODEDEMO.

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

该方程写作包含两个一阶常微分方程 (ODE) 的方程组。将针对参数 μ 的不同值计算这些方程。为了实现更快的积分,您应该根据 μ 的值选择合适的求解器。

μ=1 时,任何 MATLAB ODE 求解器都能有效地求解 van der Pol 方程。ode45 求解器就是其中之一。该方程在域 [0,20] 中求解,初始条件为 y(0)=2dydt|t=0=0

tspan = [0 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);

% Plot solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')

Figure contains an axes. The axes with title van der Pol Equation, \mu = 1 contains an object of type line.

对于较大的 μ,问题将变为刚性。此标签表示拒绝使用普通方法计算的问题。这种情况下,要实现快速积分,需要使用特殊的数值方法。ode15sode23sode23tode23tb 函数可有效地求解刚性问题。

μ=1000 时,van der Pol 方程的求解使用 ode15s,初始条件相同。您需要将时间范围大幅度延长到 [0,3000] 才能看到解的周期性变化。

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);

plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')

Figure contains an axes. The axes with title van der Pol Equation, \mu = 1000 contains an object of type line.

边界值问题

bvp4cbvp5c 可以求解常微分方程的边界值问题。

示例函数 twoode 将一个微分方程写作包含两个一阶 ODE 的方程组。此微分方程为

d2ydt2+|y|=0.

type twoode
function dydx = twoode(x,y)
%TWOODE  Evaluate the differential equations for TWOBVP.
%
%   See also TWOBC, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

函数 twobc 求解该问题的边界条件为:y(0)=0y(4)=-2

type twobc
function res = twobc(ya,yb)
%TWOBC  Evaluate the residual in the boundary conditions for TWOBVP.
%
%   See also TWOODE, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

在调用 bvp4c 之前,您必须为要在网格中表示的解提供一个猜想值。然后,求解器就像对解进行平滑处理一样修改网格。

bvpinit 函数以您可以传递给求解器 bvp4c 的形式设定初始猜想值。对于 [0 1 2 3 4] 的网格以及 y(x)=1y'(x)=0 的常量猜想值,对 bvpinit 的调用为:

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

利用这个初始猜想值,您可以使用 bvp4c 对该问题求解。使用 deval 计算 bvp4c 在某些点返回的解,然后绘制结果值。

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);

xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:));
xlabel('x')
ylabel('solution y')
hold on

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

此特定的边界值问题实际上有两种解。通过将初始猜想值更改为 y(x)=-1y'(x)=0,可以求出另一个解。

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:));
legend('Solution 1','Solution 2')
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. These objects represent Solution 1, Solution 2.

时滞微分方程

dde23ddesdddensd 可以求解具有各种时滞的时滞微分方程。示例 ddex1ddex2ddex3ddex4ddex5 构成了这些求解器的迷你使用教程。

ddex1 示例说明如何求解微分方程组

y1'(t)=y1(t-1)y2'(t)=y1(t-1)+y2(t-0.2)y3'(t)=y2(t).

您可以使用匿名函数表示这些方程

ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

问题的历史解(t0 时)固定不变:

y1(t)=1y2(t)=1y3(t)=1.

您可以将历史解表示为由 1 组成的向量。

ddex1hist = ones(3,1);

采用二元素向量表示方程组中的时滞。

lags = [1 0.2];

将函数、时滞、历史解和积分区间 [0,5] 作为输入传递给求解器。求解器在整个积分区间生成适合绘图的连续解。

sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);

plot(sol.x,sol.y);
title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Figure contains an axes. The axes with title An example of Wille and Baker DDE with Constant Delays contains 3 objects of type line. These objects represent y_1, y_2, y_3.

偏微分方程

pdepe 使用一个空间变量和时间对偏微分方程求解。示例 pdex1pdex2pdex3pdex4pdex5 构成了 pdepe 的迷你使用教程。

此示例问题使用函数 pdex1pdepdex1icpdex1bc

pdex1pde 定义微分方程

π2ut=x(ux).

type pdex1pde
function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
%PDEX1PDE  Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

pdex1ic 设置初始条件

u(x,0)=sinπx.

type pdex1ic
function u0 = pdex1ic(x)
%PDEX1IC  Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

u0 = sin(pi*x);

pdex1bc 设置边界条件

u(0,t)=0,

πe-t+xu(1,t)=0.

type pdex1bc
function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
%PDEX1BC  Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1;

pdepe 需要提供空间离散 x 和时间向量 t(您要获取解快照的时间点)。使用包含 20 个节点的网格求解此问题,并请求五个 t 值的解。提取解的第一个分量并绘图。

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);

u1 = sol(:,:,1);

surf(x,t,u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

Figure contains an axes. The axes contains an object of type surface.

另请参阅

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