对具有两个解的 BVP 求解

编写方程代码

创建一个函数以编写方程代码。此函数应具有签名 dydx = bvpfun(x,y) 或 dydx = bvpfun(x,y,parameters)，其中：

求解器会自动将这些输入传递给该函数，但是变量名称决定如何编写方程代码。在本例中，可以将二阶方程重写为一阶方程组

${{\mathit{y}}_1}^{\prime }={\mathit{y}}_2$,

${{\mathit{y}}_2}^{\prime }=-{\mathit{e}}^{{\mathit{y}}_1}$.

用于编写这些方程代码的函数为

function dydx = bvpfun(x,y)
dydx = [y(2)
        -exp(y(1))];
end

编写边界条件代码

对于像此问题中的两点边界值条件，边界条件函数应该具有签名 res = bcfun(ya,yb) 或 res = bcfun(ya,yb,parameters)，具体取决于是否涉及未知参数。ya 和 yb 是求解器自动传递给函数的列向量，bcfun 返回边界条件中的残差。

对于边界条件 $\mathit{y}\left(0\right)=\mathit{y}\left(1\right)=0$，bcfun 函数指定两个边界上的残差值都为零。在您的初始估计值中，这些残差值会强制应用于您指定给 bvpinit 的第一个和最后一个网格点。此问题的初始网格应该有 x(1) = 0 和 x(end) = 1。

function res = bcfun(ya,yb)
res = [ya(1)
       yb(1)];
end

获取初始估计值

调用 bvpinit 以生成解的初始估计值。x 的网格不需要有很多点，但是第一个点必须为 0，而最后一个点必须为 1，以正确指定边界条件。对 y 使用初始估计值，其中第一个分量为稍大于零的正数，第二个分量为零。

xmesh = linspace(0,1,5);
solinit = bvpinit(xmesh, [0.1 0]);

求解方程

使用 bvp4c 求解器求解 BVP。

sol1 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);

使用不同的初始估计值

使用解的不同初始估计值第二次求解 BVP。

solinit = bvpinit(xmesh, [3 0]);
sol2 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);

对解进行比较

绘制 bvp4c 针对不同的初始条件所计算的解。这两个解都满足规定的边界条件，但它们之间有不同行为。由于解并不始终唯一，不同行为展现出为解提供良好初始估计值的重要性。

plot(sol1.x,sol1.y(1,:),'-o',sol2.x,sol2.y(1,:),'-o')
title('BVP with Different Solutions That Depend on the Initial Guess')
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('Solution 1','Solution 2')

局部函数

此处列出了 BVP 求解器 bvp4c 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dydx = bvpfun(x,y) % equation being solved
dydx = [y(2)
        -exp(y(1))];
end
%-------------------------------------------
function res = bcfun(ya,yb) % boundary conditions 
res = [ya(1)
       yb(1)];
end
%-------------------------------------------