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求解具有未知参数的 BVP

以下示例说明如何使用 bvp4c 求解具有未知参数的边界值问题。

马蒂厄方程在区间 [0,π] 上定义为

y+(λ-2q cos(2x))y=0

当参数 q=5 时,边界条件为

y(0)=0

y(π)=0

但这最多只能将 y(x) 确定为一个数乘,因此需要第三个条件来指定特定解,

y(0)=1

要在 MATLAB 中对此方程组求解,您需要先编写方程组、边界条件和初始估计值的代码,然后再调用边界值问题求解器 bvp4c。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾(如本处所示),或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

编写方程代码

创建一个函数以编写方程代码。此函数应具有签名 dydx = mat4ode(x,y,lambda),其中:

  • x 是自变量。

  • y 是因变量。

  • lambda 是表示特征值的未知参数。

您可以用代换法 y1=yy2=y 将马蒂厄方程写成一阶方程组,

y1=y2

y2=-(λ-2q cos(2x))y1

则对应的函数是

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved
dydx = [y(2)
      -(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];
end

注意:所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

编写边界条件代码

现在,编写一个函数,该函数返回在边界点处的边界条件的残差值。此函数应具有签名 res = mat4bc(ya,yb,lambda),其中:

  • ya 是在区间 [a,b] 开始处的边界条件的值。

  • yb 是在区间 [a,b] 结束处的边界条件的值。

  • lambda 是表示特征值的未知参数。

此问题在区间 [0,π] 内有三个边界条件。要计算残差值,您需要将边界条件设置为 g(x,y)=0 形式。在此形式中,边界条件是

y(0)=0

y(π)=0

y(0)-1=0

则对应的函数是

function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions
res = [ya(2)
       yb(2)
       ya(1)-1];
end

创建初始估计值

最后,创建解的初始估计值。您必须对两个解分量 y1=y(x)y2=y(x) 以及未知参数 λ 提供初始估计值。只有接近初始估计值的特征值和特征函数才可以被计算。为了增大计算的特征函数对应于第四个特征值的可能性,您应选择具有正确的定量行为的初始估计值。

对于此问题,余弦函数满足三个边界条件,因此有助于提供较好的初始估计值。使用返回 y1y2 的估计值的函数,编写 y 的初始估计值的代码。

function yinit = mat4init(x) % initial guess function
yinit = [cos(4*x)
        -4*sin(4*x)];
end

使用区间为 [0,π] 的 10 点网格、初始估计值函数以及 λ 的估计值 15 调用 bvpinit

lambda = 15;
solinit = bvpinit(linspace(0,pi,10),@mat4init,lambda);

求解方程

使用 ODE 函数、边界条件函数和初始估计值调用 bvp4c

sol = bvp4c(@mat4ode, @mat4bc, solinit);

参数值

打印 bvp4c 求得的未知参数 λ 的值。此值是马蒂厄方程的第四个特征值 (q=5)。

fprintf('Fourth eigenvalue is approximately %7.3f.\n',...
            sol.parameters)
Fourth eigenvalue is approximately  17.097.

对解进行绘图

使用 deval 计算 bvp4c 在区间 [0,π] 中的 100 个点处计算的解。

xint = linspace(0,pi);
Sxint = deval(sol,xint);

对两个解分量进行绘图。绘图显示了与第四个特征值 λ4=17.097 相关联的特征函数(及其导数)。

plot(xint,Sxint)
axis([0 pi -4 4])
title('Eigenfunction of Mathieu''s Equation.') 
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('y','y''')

Figure contains an axes. The axes with title Eigenfunction of Mathieu's Equation. contains 2 objects of type line. These objects represent y, y'.

局部函数

此处列出了 BVP 求解器 bvp4c 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved
q = 5;
dydx = [y(2)
      -(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];
end
%-------------------------------------------
function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions
res = [ya(2)
       yb(2)
       ya(1)-1];
end
%-------------------------------------------
function yinit = mat4init(x) % initial guess function
yinit = [cos(4*x)
        -4*sin(4*x)];
end
%-------------------------------------------

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