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解算刚性 ODE

本页包含两个使用 ode15s 解算刚性常微分方程的示例。MATLAB® 拥有四个专用于刚性 ODE 的求解器。

  • ode15s

  • ode23s

  • ode23t

  • ode23tb

对于大多数刚性问题,ode15s 的性能最佳。但如果问题允许较宽松的误差容限,则 ode23sode23tode23tb 可能更加高效。

什么是刚性 ODE?

对于一些 ODE 问题,求解器采用的步长被强制缩小为与积分区间相比过小的级别,甚至在解曲线平滑的区域亦如此。这些步长可能过小,以至于遍历很短的时间区间都可能需要数百万次计算。这可能导致求解器积分失败,即使积分成功也需要花费很长时间。

导致 ODE 求解器出现此行为的方程称为刚性方程。刚性 ODE 造成的问题是,显式求解器(例如 ode45)获取解的速度慢得令人无法忍受。这是将 ode45ode23ode113 一同归类为非刚性求解器的原因所在。

专用于刚性 ODE 的求解器称为刚性求解器,它们通常在每一步中完成更多的计算工作。这样做的好处是,它们能够采用大得多的步长,并且与非刚性求解器相比提高了数值稳定性。

求解器选项

对于刚性问题,使用 odeset 指定 Jacobian 矩阵尤为重要。刚性求解器使用 Jacobian 矩阵 $\partial f_i / \partial y_j$ 来预测 ODE 在积分过程中的局部行为,因此提供 Jacobian 矩阵(或者对于大型稀疏方程组提供其稀疏模式)对于提高效率和可靠性而言至关重要。使用 odesetJacobianJPatternVectorized 选项来指定 Jacobian 的相关信息。如果没有提供 Jacobian,则求解器将使用有限差分对其进行数值预测。

有关其他求解器选项的完整列表,请参阅 odeset

示例:刚性 van der Pol 方程

van der Pol 方程为二阶 ODE

$$y''_1 - \mu \left( 1 - y_1^2\right) y'_1+y_1=0,$$

其中 $\mu > 0$ 为标量参数。当 $\mu = 1$ 时,生成的 ODE 方程组为非刚性方程组,可以使用 ode45 轻松求解。但如果将 $\mu$ 增大至 1000,则解会发生显著变化,并会在明显更长的时间段中显示振荡。求初始值问题的近似解变得更加复杂。由于此特定问题是刚性问题,因此专用于非刚性问题的求解器(如 ode45)的效率非常低下且不切实际。针对此问题应改用 ode15s 等刚性求解器。

通过执行代换 $y'_1 = y_2$,将该 van der Pol 方程重写为一阶 ODE 方程组。生成的一阶 ODE 方程组为

$$
\begin{array}{cl}
y'_1 &= y_2\\
y'_2 &= \mu (1-y_1^2) y_2 - y_1 .\end{array}
$$

vdp1000 函数使用 $\mu = 1000$ 计算 van der Pol 方程。

function dydt = vdp1000(t,y)
%VDP1000  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1000.
%
%   See also ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); 1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

使用 ode15s 函数和初始条件向量 [2; 0],在时间区间 [0 3000] 上解算此问题。由于是标量,因此仅绘制解的第一个分量。

[t,y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2; 0]);
plot(t,y(:,1),'-o');
title('Solution of van der Pol Equation, \mu = 1000');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y_1');

vdpode 函数也可以求解同一问题,但它接受的是用户指定的 $\mu$ 值。随着 $\mu$ 的增大,该方程组的刚性逐渐增强。

示例:稀疏 Brusselator 方程组

经典 Brusselator 方程组可能为大型刚性稀疏矩阵。Brusselator 方程组可模拟化学反应中的扩算,并表示为涉及 $u$$v$$u'$$v'$ 的方程组。

$$ \begin{array}{cl} u'_i &= 1+u_i^2v_i-4u_i+ \alpha \left( N + 1 \right)
^2 \left( u_{i-1}-2_i+u_{i+1} \right)\\ v'_i &= 3u_i-u_i^2v_i + \alpha
\left( N+1 \right) ^2 \left( v_{i-1} - 2v_i+v_{i+1} \right) \end{array}$$

函数文件 brussode 使用 $\alpha = 1/50$ 在时间区间 [0,10] 上对这组方程进行求解。初始条件为

$$\begin{array}{cl} u_j(0) &= 1+\sin(2 \pi x_j)\\ v_j(0) &=
3,\end{array}$$

其中,当 $i=1,...,N$ 时,$x_j = i/N+1$。因此,该方程组中有 $2N$ 个方程,但如果这些方程按 $u_1,v_1,u_2,v_2,...$ 的形式排序,则 Jacobian $\partial f / \partial y$ 为具有常量宽度 5 的带状矩阵。随着 $N$ 的增大,此问题的刚性逐渐增强,并且 Jacobian 矩阵的稀疏性也逐渐增大。

函数调用 brussode(N)(其中 $N \ge 2$)为方程组中的 N(对应于网格点数量)指定值。默认情况下,brussode 使用 $N = 20$

brussode 包含一些子函数:

  • 嵌套函数 f(t,y) 用于编写 Brusselator 问题的方程组代码,并返回一个向量。

  • 局部函数 jpattern(N) 返回由 1 和 0 组成的稀疏矩阵,从而显示 Jacobian 矩阵中非零值的位置。此矩阵将赋给 options 结构体的 JPattern 字段。ODE 求解器使用此稀疏模式,生成稀疏矩阵形式的 Jacobian 数值矩阵。在问题中提供此稀疏模式可将生成 2N×2N Jacobian 矩阵所需的函数计算量从 2N 次大幅减少至仅仅 4 次。

function brussode(N)
%BRUSSODE  Stiff problem modelling a chemical reaction (the Brusselator).
%   The parameter N >= 2 is used to specify the number of grid points; the
%   resulting system consists of 2N equations. By default, N is 20.  The
%   problem becomes increasingly stiff and increasingly sparse as N is
%   increased.  The Jacobian for this problem is a sparse constant matrix
%   (banded with bandwidth 5).
%
%   The property 'JPattern' is used to provide the solver with a sparse
%   matrix of 1's and 0's showing the locations of nonzeros in the Jacobian
%   df/dy.  By default, the stiff solvers of the ODE Suite generate Jacobians
%   numerically as full matrices.  However, when a sparsity pattern is
%   provided, the solver uses it to generate the Jacobian numerically as a
%   sparse matrix.  Providing a sparsity pattern can significantly reduce the
%   number of function evaluations required to generate the Jacobian and can
%   accelerate integration.  For the BRUSSODE problem, only 4 evaluations of
%   the function are needed to compute the 2N x 2N Jacobian matrix.
%
%   Setting the 'Vectorized' property indicates the function f is
%   vectorized.
%
%   E. Hairer and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II,
%   Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, Berlin,
%   1991, pp. 5-8.
%
%   See also ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB, ODESET, FUNCTION_HANDLE.

%   Mark W. Reichelt and Lawrence F. Shampine, 8-30-94
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

% Problem parameter, shared with the nested function.
if nargin<1
   N = 20;
end

tspan = [0; 10];
y0 = [1+sin((2*pi/(N+1))*(1:N)); repmat(3,1,N)];

options = odeset('Vectorized','on','JPattern',jpattern(N));

[t,y] = ode15s(@f,tspan,y0,options);

u = y(:,1:2:end);
x = (1:N)/(N+1);
figure;
surf(x,t,u);
view(-40,30);
xlabel('space');
ylabel('time');
zlabel('solution u');
title(['The Brusselator for N = ' num2str(N)]);

% -------------------------------------------------------------------------
% Nested function -- N is provided by the outer function.
%

   function dydt = f(t,y)
      % Derivative function
      c = 0.02 * (N+1)^2;
      dydt = zeros(2*N,size(y,2));      % preallocate dy/dt
      
      % Evaluate the 2 components of the function at one edge of the grid
      % (with edge conditions).
      i = 1;
      dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + c*(1-2*y(i,:)+y(i+2,:));
      dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(3-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));
      
      % Evaluate the 2 components of the function at all interior grid points.
      i = 3:2:2*N-3;
      dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + ...
         c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+y(i+2,:));
      dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + ...
         c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));
      
      % Evaluate the 2 components of the function at the other edge of the grid
      % (with edge conditions).
      i = 2*N-1;
      dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+1);
      dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+3);
   end
% -------------------------------------------------------------------------

end  % brussode

% ---------------------------------------------------------------------------
% Subfunction -- the sparsity pattern
%

function S = jpattern(N)
% Jacobian sparsity pattern
B = ones(2*N,5);
B(2:2:2*N,2) = zeros(N,1);
B(1:2:2*N-1,4) = zeros(N,1);
S = spdiags(B,-2:2,2*N,2*N);
end
% ---------------------------------------------------------------------------

通过运行函数 brussode,对 $N=20$ 时的 Brusselator 方程组求解。

brussode

通过为 brussode 指定输入,对 $N=50$ 时的方程组求解。

brussode(50)

另请参阅

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