ddesd

求解带有常规时滞的时滞微分方程 (DDE)

语法

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan)
sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan,options)

参量

ddefun

用于对微分方程 y′(t) = f(t,y(t),y(d(1),...,y(d(k))) 的右侧进行计算的函数句柄。此函数必须为以下形式：

dydt = ddefun(t,y,Z)

其中 t 对应当前 t，y 是一个求 y(t) 近似值的列向量，Z(:,j) 用于为以 delays(t,y) 的分量 j 形式提供的时滞 d(j) 求 y(d(j)) 近似值。输出是对应 f(t,y(t),y(d(1),...,y(d(k))) 的列向量。

delays

返回时滞 d(j) 的列向量的函数句柄。时滞取决于 t 和 y(t) 两者。ddesd 通过使用 min(d(j),t) 施加 d(j) ≤ t 要求。

如果所有时滞函数都采用 d(j) = t – τj 形式，则您可以将参量 delays 设置为常向量 delays(j) = τj。有了这种形式的时滞函数，ddesd 的使用方法与 dde23 完全相同。

history

按以下三种方式之一指定 history：

  • 一个 t 函数，要求 y = history(t) 能够将 t ≤ t0 的解 y(t) 以列向量的形式返回

  • 一个固定列向量（如果 y(t) 为常量）

  • 来自之前积分的解 sol（如果此调用继续该积分）

tspan

从 t0=tspan(1) 到 tf=tspan(end) 的积分区间，其中 t0 < tf。

options

可选积分参量。使用 ddeset 函数创建的结构体。有关详细信息，请参阅 ddeset。

说明

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan) 计算 DDE 结构体

y′(t)=f(t,y(t),y(d(1)),...,y(d(k)))

在 [t0,tf] 区间上的积分，其中时滞 d(j) 取决于 t 和 y(t) 两者，且 t0 < tf。输入 ddefun 和 delays 均为函数句柄。有关详细信息，请参阅创建函数句柄。

参数化函数解释了如何为函数 ddefun、delays 和 history 提供其他参数（如果需要）。

ddesd 以结构体 sol 的形式返回解。使用辅助函数 deval 和输出 sol 来计算区间 tspan = [t0,tf] 中的特定点 tint 的解。

yint = deval(sol,tint)

ddesd 返回的结构体 sol 包含下列字段。

sol.x

ddesd 选择的网格

sol.y

sol.x 网格点处的 y(x) 逼近值。

sol.yp

sol.x 网格点处的 y(x) 逼近值

sol.solver

求解器名称 'ddesd'

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan,options) 的解算方法与上述方法相同，只是将默认积分属性替换为了 options（使用 ddeset 创建的参量）中的值。有关详细信息，请参阅 ddeset 和解算时滞微分方程。

常用选项包括标量相对误差容限 'RelTol'（默认为 1e-3）和绝对误差容限的向量 'AbsTol'（默认情况下，所有分量均为 1e-6）。

使用 'Events' 选项指定一个 ddesd 调用来找出函数 g(t、y(t)、y(d(1)),...,y(d(k))) 消失位置的函数。此函数必须为以下形式 

[value,isterminal,direction] = events(t,y,Z)

并包含一个事件函数以测试每个事件。对于 events 中的第 k 个事件函数：

  • value(k) 是第 k 个事件函数的值。

  • 如果想要积分在此事件函数为零时终止，则 isterminal(k) = 1；否则为 0。

  • 如果想要 ddesd 计算此事件函数的所有零，则 direction(k) = 0；如果仅计算事件函数呈上升趋势时的零，则 +1，如果仅计算事件函数呈下降趋势时的零，则 -1。

如果指定了 'Events' 选项，并且检测到事件，输出结构体 sol 还包括下列字段：

sol.xe

包含所有事件位置的行向量，即事件函数消失的时间

sol.ye

包含特定列数据的矩阵，其列值为与 sol.xe 中的时间对应的解

sol.ie

索引向量，其中的索引值用于指定在 sol.xe 中的对应时间所发生的事件

示例

方程

sol = ddesd(@ddex1de,@ddex1delays,@ddex1hist,[0,5]);

使用函数 ddex1delays 指定的时滞以及 ddex1de 计算的微分方程对 [0,5] 区间上的 DDE 求解。t ≤ 0 条件下的历史记录由函数 ddex1hist 计算求得。计算时在 [0,5] 区间内放入了 100 个等间距点，以此来求解：

tint = linspace(0,5);
yint = deval(sol,tint);

同时使用以下函数绘图： 

plot(tint,yint);

此问题涉及固定时滞。delay 函数的格式为

function d = ddex1delays(t,y)
%DDEX1DELAYS  Delays for using with DDEX1DE.
d = [ t - 1
      t - 0.2];

该问题也可以使用与固定时滞对应的语法求解 

delays = [1, 0.2];
sol = ddesd(@ddex1de,delays,@ddex1hist,[0, 5]);

或使用 dde23：

sol = dde23(@ddex1de,delays,@ddex1hist,[0, 5]);

有关解时滞微分方程的更多示例，请参阅 ddex2 和 ddex3。

参考

[1] Shampine, L.F., “Solving ODEs and DDEs with Residual Control,” Applied Numerical Mathematics, Vol. 52, 2005, pp. 113-127.

另请参阅

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