Main Content

本页的翻译已过时。点击此处可查看最新英文版本。

ddesd

求解带有常规时滞的时滞微分方程 (DDE)

语法

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan)
sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan,options)

参数

ddefun

用于对微分方程 y′(t) = f(t,y(t),y(d(1),...,y(d(k))) 的右侧进行计算的函数句柄。此函数必须为以下形式:

dydt = ddefun(t,y,Z)

其中 t 对应当前 t,y 是一个求 y(t) 近似值的列向量,Z(:,j) 用于为以 delays(t,y) 的分量 j 形式提供的时滞 d(j) 求 y(d(j)) 近似值。输出是对应 f(t,y(t),y(d(1),...,y(d(k))) 的列向量。

delays

返回时滞 d(j) 的列向量的函数句柄。时滞取决于 t 和 y(t) 两者。ddesd 通过使用 min(d(j),t) 施加 d(j) ≤ t 要求。

如果所有时滞函数都采用 d(j) = t – τj 形式,则您可以将参数 delays 设置为常向量 delays(j) = τj。有了这种形式的时滞函数,ddesd 的使用方法与 dde23 完全相同。

history

按以下三种方式之一指定 history

  • 一个 t 函数,要求 y = history(t) 能够将 t ≤ t0 的解 y(t) 以列向量的形式返回

  • 一个固定列向量(如果 y(t) 为常量)

  • 来自之前积分的解 sol(如果此调用继续该积分)

tspan

t0=tspan(1)tf=tspan(end) 的积分区间,其中 t0 < tf

options

可选积分参数。使用 ddeset 函数创建的结构体。有关详细信息,请参阅 ddeset

说明

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan) 计算 DDE 结构体

y(t)=f(t,y(t),y(d(1)),...,y(d(k)))

在 [t0,tf] 区间上的积分,其中时滞 d(j) 取决于 t 和 y(t) 两者,且 t0 < tf。输入 ddefundelays 均为函数句柄。有关详细信息,请参阅创建函数句柄

参数化函数解释了如何为函数 ddefundelayshistory 提供其他参数(如果需要)。

ddesd 以结构体 sol 的形式返回解。使用辅助函数 deval 和输出 sol 来计算区间 tspan = [t0,tf] 中的特定点 tint 的解。

yint = deval(sol,tint)

ddesd 返回的结构体 sol 包含下列字段。

sol.x

ddesd 选择的网格

sol.y

sol.x 网格点处的 y(x) 近似值。

sol.yp

sol.x 网格点处的 y(x) 近似值

sol.solver

求解器名称 'ddesd'

sol = ddesd(ddefun,delays,history,tspan,options) 的解算方法与上述方法相同,只是将默认积分属性替换为了 options(使用 ddeset 创建的参数)中的值。有关详细信息,请参阅 ddeset解算时滞微分方程

常用选项包括标量相对误差容限 'RelTol'(默认为 1e-3)和绝对误差容限的向量 'AbsTol'(默认情况下,所有分量均为 1e-6)。

使用 'Events' 选项指定一个 ddesd 调用来找出函数 g(t、y(t)、y(d(1)),...,y(d(k))) 消失位置的函数。此函数必须为以下形式

[value,isterminal,direction] = events(t,y,Z)

并包含一个事件函数以测试每个事件。对于 events 中的第 k 个事件函数:

  • value(k) 是第 k 个事件函数的值。

  • 如果想要积分在此事件函数为零时终止,则 isterminal(k) = 1;否则为 0

  • 如果想要 ddesd 计算此事件函数的所有零,则 direction(k) = 0;如果仅计算事件函数呈上升趋势时的零,则 +1,如果仅计算事件函数呈下降趋势时的零,则 -1

如果指定了 'Events' 选项,并且检测到事件,输出结构体 sol 还包括下列字段:

sol.xe

包含所有事件位置的行向量,即事件函数消失的时间

sol.ye

包含特定列数据的矩阵,其列值为与 sol.xe 中的时间对应的解

sol.ie

索引向量,其中的索引值用于指定在 sol.xe 中的对应时间所发生的事件

示例

方程

sol = ddesd(@ddex1de,@ddex1delays,@ddex1hist,[0,5]);

使用函数 ddex1delays 指定的时滞以及 ddex1de 计算的微分方程对 [0,5] 区间上的 DDE 求解。t ≤ 0 条件下的历史记录由函数 ddex1hist 计算求得。计算时在 [0,5] 区间内放入了 100 个等间距点,以此来求解:

tint = linspace(0,5);
yint = deval(sol,tint);

同时使用以下函数绘图:

plot(tint,yint);

此问题涉及固定时滞。delay 函数的格式为

function d = ddex1delays(t,y)
%DDEX1DELAYS  Delays for using with DDEX1DE.
d = [ t - 1
      t - 0.2];

该问题也可以使用与固定时滞对应的语法求解

delays = [1, 0.2];
sol = ddesd(@ddex1de,delays,@ddex1hist,[0, 5]);

或使用 dde23

sol = dde23(@ddex1de,delays,@ddex1hist,[0, 5]);

有关解时滞微分方程的更多示例,请参阅 ddex2ddex3

参考

[1] Shampine, L.F., “Solving ODEs and DDEs with Residual Control,” Applied Numerical Mathematics, Vol. 52, 2005, pp. 113-127.