使用基于求解器的锥规划最小化分段线性质量-弹簧系统的能量

数学表示

质量 $$i$$ 的位置为 $$x(i)$$，水平坐标为 $$x_1(i)$$，垂直坐标为 $$x_2(i)$$。质量 $$i$$ 由于 $$gm(i)x_2(i)$$ 的重力而具有势能。弹簧 $$i$$ 中的势能为 $$k(i)(d(i)-l(i){)}^2/2$$，其中 $$d(i)$$ 是质量 $$i$$ 和质量 $$i-1$$ 之间的弹簧长度。以锚点 1 作为质量 0 的位置，以锚点 2 作为质量 $$n+1$$ 的位置。前面的能量计算表明，弹簧 $$i$$ 的势能为

$$Energy(i)=\frac{k(i)(\Vert x(i)-x(i-1)\Vert -l(i){)}^2}{2}$$.

将此势能问题重新表述为二阶锥问题需要引入一些新变量，如 Lobo [1] 中所述。创建等于项 $$Energy(i)$$ 的平方根的变量 $$t(i)$$。

令 $$e$$ 为单位列向量 $$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right]$$。则 $$x_2(i)=e^{T}x(i)$$。问题变成了

$$\underset{x,t}{\min }(\sum _{i}gm(i)e^{T}x(i)+\Vert t{\Vert }^2).$$ (1)

现在将 $$t$$ 视为一个自由向量变量，不是由前面的 $$t(i)$$ 方程给出的。将 $$x(i)$$ 和 $$t(i)$$ 之间的关系纳入新的锥约束

$$\Vert x(i)-x(i-1)\Vert -l(i)\le \sqrt{\frac{2}{k(i)}}t(i).$$ (2)

目标函数在其变量中还不是线性的，正如 coneprog 所要求的那样。引入一个新的标量变量 $$y$$。请注意，不等式 $$\Vert t{\Vert }^2\le y$$ 等价于不等式

$$\Vert \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2t}{1-y}\right]\Vert \le 1+y$$.(3)

现在的问题是最小化

$$\underset{x,t,y}{\min }(\sum _{i}gm(i)e^{T}x(i)+y)$$ (4)

受制于 (2) 中列出的 $$x(i)$$ 和 $$t(i)$$ 的锥约束以及 (3) 的附加锥约束。锥约束 (3) 确保 $$\Vert t{\Vert }^2\le y$$。因此，问题（4）等价于问题（1）。

问题 (4) 中的目标函数和锥约束适合用 coneprog 解。

MATLAB® 表示

定义六个弹簧常数 $$k$$、六个长度常数 $$l$$ 和五个质量 $$m$$。

k = 40*(1:6);
l = [1 1/2 1 2 1 1/2];
m = [2 1 3 2 1];

定义地球上的近似引力常数 $$g$$。

g = 9.807;

需要优化的变量是 $$x$$ 向量的十个分量、$$t$$ 向量的六个分量以及 $$y$$ 变量。让 v 成为包含所有这些变量的向量。

使用这些变量，创建相应的目标函数向量 f。

f = zeros(size(m));
f = [f;g*m];
f = f(:);
f = [f;zeros(length(k)+1,1)];
f(end) = 1;

创建与质量之间的弹簧相对应的锥约束(2)

$$\Vert x(i)-x(i-1)\Vert -l(i)\le \sqrt{\frac{2}{k(i)}}t(i)$$.

coneprog 求解器使用锥约束来求解变量向量 $$v$$，形式如下

$$\Vert A_{sc}\cdot v-b_{sc}\Vert \le d_{sc}^{T}v-\gamma$$.

在下面的代码中，Asc 矩阵代表项 $$\Vert x(i)-x(i-1)\Vert$$，其中 bsc = [0;0]。锥变量 dsc = $$\sqrt{2/k(i)}$$ 以及对应的 gamma = $$-l(i).$$

d = zeros(1,length(f));
Asc = d;
Asc([1 3]) = [1 -1];
A2 = circshift(Asc,1);
Asc = [Asc;A2];
ml = length(m);
dbase = 2*ml;
bsc = [0;0];
for i = 2:ml
    gamma = -l(i);
    dsc = d;
    dsc(dbase + i) = sqrt(2/k(i));
    conecons(i) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);
    Asc = circshift(Asc,2,2);
end

通过使用锚点作为末端质量的位置，创建与末端质量和锚点之间的弹簧相对应的锥约束，如前面的代码所示。

x0 = [0;5];
xn = [5;4];

Asc = zeros(size(Asc));
Asc(1,(dbase-1)) = 1;
Asc(2,dbase) = 1;
bsc = xn;
gamma = -l(ml);
dsc = d;
dsc(dbase + ml) = sqrt(2/k(ml));
conecons(ml + 1) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

Asc = zeros(size(Asc));
Asc(1,1) = 1;
Asc(2,2) = 1;
bsc = x0;
gamma = -l(1);
dsc = d;
dsc(dbase + 1) = sqrt(2/k(1));
conecons(1) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

创建与 $$y$$ 变量对应的锥约束(3)

通过创建矩阵 Asc ，将其与 v 向量相乘，得到向量 $$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2t}{-y}\right]$$。bsc 向量对应于项 $$1-y$$ 中的常数 1。dsc 向量与 v 相乘后返回 $$y$$。并且 gamma = $$-1$$。

Asc = 2*eye(length(f));
Asc(1:dbase,:) = [];
Asc(end,end) = -1;
bsc = zeros(size(Asc,1),1);
bsc(end) = -1;
dsc = d;
dsc(end) = 1;
gamma = -1;
conecons(ml+2) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

最后，创建与 $$t$$ 和 $$y$$ 变量对应的下界。

lb = -inf(size(f));
lb(dbase+1:end) = 0;

求解问题并绘制解

问题表示已完成。通过调用 coneprog 求解问题。

[v,fval,exitflag,output] = coneprog(f,conecons,[],[],[],[],lb);

Optimal solution found.

绘制解点和锚点。

pp = v(1:2*ml);
pp = reshape(pp,2,[]);
pp = pp';
plot(pp(:,1),pp(:,2),'ro')
hold on
xx = [x0,xn]';
plot(xx(:,1),xx(:,2),'ks')
xlim([x0(1)-0.5,xn(1)+0.5])
ylim([min(pp(:,2))-0.5,max(x0(2),xn(2))+0.5])
xxx = [x0';pp;xn'];
plot(xxx(:,1),xxx(:,2),'b--')
legend('Calculated points','Anchor points','Springs','Location',"best")
hold off

您可以更改参数 m、l 和 k 的值，看看它们如何影响解。您还可以改变质量数；代码会从您提供的数据中获取质量数。

参考资料

[1] Lobo, Miguel Sousa, Lieven Vandenberghe, Stephen Boyd, and Hervé Lebret.“Applications of Second-Order Cone Programming.”Linear Algebra and Its Applications 284, no. 1–3 (November 1998):193–228. https://doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10032-0.