coneprog

x = coneprog(f,socConstraints) 求解二阶锥规划问题，socConstraints 中的约束编码为

A_sc(i) = socConstraints(i).A
b_sc(i) = socConstraints(i).b
d_sc(i) = socConstraints(i).d
γ(i) = socConstraints(i).gamma

x = coneprog(f,socConstraints,A,b,Aeq,beq) 在不等式约束 A*x ≤ b 和等式约束 Aeq*x = beq 下求解问题。如果不存在不等式，请设置 A = [] 和 b = []。

x = coneprog(f,socConstraints,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量 x 的一组下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。

x = coneprog(f,socConstraints,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) 使用 options 指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。

x = coneprog(problem) 求 problem 的最小值，它是 problem 中所述的一个结构体。

[x,fval] = coneprog(___) 还使用上述语法中的任何输入参数组合返回在解 fval = f'*x 处的目标函数值。

[x,fval,exitflag,output] = coneprog(___) 还返回说明退出条件的值 exitflag，以及包含优化过程信息的结构体 output。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = coneprog(___) 还返回结构体 lambda，其字段包含在解 x 处的对偶变量。

示例

单锥约束

要使用二阶锥约束设立问题，请创建一个二阶锥约束对象。

A = diag([1,1/2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = 0;
socConstraints = secondordercone(A,b,d,gamma);

创建一个目标函数向量。

f = [-1,-2,0];

该问题没有线性约束。为这些约束创建空矩阵。

Aineq = [];
bineq = [];
Aeq = [];
beq = [];

对 x(3) 设置上界和下界。

lb = [-Inf,-Inf,0];
ub = [Inf,Inf,2];

使用 coneprog 函数求解该问题。

[x,fval] = coneprog(f,socConstraints,Aineq,bineq,Aeq,beq,lb,ub)

Optimal solution found.

fval = -8.2462

解的分量 x(3) 位于其上界。锥约束在解处处于活动状态：

norm(A*x-b) - d'*x % Near 0 when the constraint is active

ans = -2.5677e-08

多个锥约束

要设立一个具有多个二阶锥约束的问题，请创建一个约束对象数组。为了节省时间和内存，请先创建最高阶指数约束。

A = diag([1,2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = -1;
socConstraints(3) = secondordercone(A,b,d,gamma);

A = diag([3,0,1]);
d = [0;1;0];
socConstraints(2) = secondordercone(A,b,d,gamma);

A = diag([0;1/2;1/2]);
d = [1;0;0];
socConstraints(1) = secondordercone(A,b,d,gamma);

创建线性目标函数向量。

f = [-1;-2;-4];

使用 coneprog 函数求解该问题。

[x,fval] = coneprog(f,socConstraints)

Optimal solution found.

fval = -13.0089

具有线性约束的锥规划

指定一个目标函数向量和单个二阶锥约束。

f = [-4;-9;-2];
Asc = diag([1,4,0]);
b = [0;0;0];
d = [0;0;1];
gamma = 0;
socConstraints = secondordercone(Asc,b,d,gamma);

指定一个线性不等式约束。

A = [1/4,1/9,1];
b = 5;

求解。

[x,fval] = coneprog(f,socConstraints,A,b)

Optimal solution found.

fval = -26.9225

具有非默认选项的锥规划

要观测 coneprog 求解器的迭代，请将 Display 选项设置为 'iter'。

options = optimoptions('coneprog','Display','iter');

创建一个二阶锥规划问题，并使用 options 对其进行求解。

Asc = diag([1,1/2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = 0;
socConstraints = secondordercone(Asc,b,d,gamma);
f = [-1,-2,0];
Aineq = [];
bineq = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-Inf,-Inf,0];
ub = [Inf,Inf,2];
[x,fval] = coneprog(f,socConstraints,Aineq,bineq,Aeq,beq,lb,ub,options)

Iter           Fval  Primal Infeas    Dual Infeas    Duality Gap    Time
   1   0.000000e+00   0.000000e+00   5.714286e-01   1.250000e-01    0.03
   2  -7.558066e+00   0.000000e+00   7.151114e-02   1.564306e-02    0.04
   3  -7.366973e+00   0.000000e+00   1.075440e-02   2.352525e-03    0.04
   4  -8.243432e+00   0.000000e+00   5.191882e-05   1.135724e-05    0.05
   5  -8.246067e+00   1.387779e-17   2.430813e-06   5.317403e-07    0.05
   6  -8.246211e+00   0.000000e+00   6.154504e-09   1.346298e-09    0.05
Optimal solution found.

fval = -8.2462

具有问题结构体的锥规划

创建一个二阶锥规划问题的元素。为了节省时间和内存，请先创建最高阶指数约束。

A = diag([1,2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = -1;
socConstraints(3) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([3,0,1]);
d = [0;1;0];
socConstraints(2) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([0;1/2;1/2]);
d = [1;0;0];
socConstraints(1) = secondordercone(A,b,d,gamma);
f = [-1;-2;-4];
options = optimoptions('coneprog','Display','iter');

按照problem中所述，创建一个包含必需字段的问题结构体。

problem = struct('f',f,...
    'socConstraints',socConstraints,...
    'Aineq',[],'bineq',[],...
    'Aeq',[],'beq',[],...
    'lb',[],'ub',[],...
    'solver','coneprog',...
    'options',options);

通过调用 coneprog 求解问题。

[x,fval] = coneprog(problem)

Iter           Fval  Primal Infeas    Dual Infeas    Duality Gap    Time
   1   0.000000e+00   0.000000e+00   5.333333e-01   5.555556e-02    0.09
   2  -9.696012e+00   1.850372e-17   7.631901e-02   7.949897e-03    0.11
   3  -1.178942e+01   9.251859e-18   1.261803e-02   1.314378e-03    0.11
   4  -1.294426e+01   1.850372e-17   1.683078e-03   1.753206e-04    0.11
   5  -1.295217e+01   1.850372e-17   8.994595e-04   9.369370e-05    0.11
   6  -1.295331e+01   1.850372e-17   4.748841e-04   4.946709e-05    0.11
   7  -1.300753e+01   9.251859e-18   2.799942e-05   2.916606e-06    0.12
   8  -1.300671e+01   9.251859e-18   2.366136e-05   2.464725e-06    0.12
   9  -1.300850e+01   1.850372e-17   8.187205e-06   8.528338e-07    0.12
  10  -1.300843e+01   4.625929e-18   7.326330e-06   7.631594e-07    0.12
  11  -1.300862e+01   9.251859e-18   2.707005e-06   2.819797e-07    0.12
  12  -1.300892e+01   0.000000e+00   9.204457e-08   9.587976e-09    0.13
Optimal solution found.

fval = -13.0089

检查 `coneprog` 求解过程

创建一个二阶锥规划问题。为了节省时间和内存，请先创建最高阶指数约束。

A = diag([1,2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = -1;
socConstraints(3) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([3,0,1]);
d = [0;1;0];
socConstraints(2) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([0;1/2;1/2]);
d = [1;0;0];
socConstraints(1) = secondordercone(A,b,d,gamma);
f = [-1;-2;-4];
options = optimoptions('coneprog','Display','iter');
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];

求解该问题，请求有关求解过程的信息。

[x,fval,exitflag,output] = coneprog(f,socConstraints,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

Iter           Fval  Primal Infeas    Dual Infeas    Duality Gap    Time
   1   0.000000e+00   0.000000e+00   5.333333e-01   5.555556e-02    0.04
   2  -9.696012e+00   5.551115e-17   7.631901e-02   7.949897e-03    0.06
   3  -1.178942e+01   3.700743e-17   1.261803e-02   1.314378e-03    0.06
   4  -1.294426e+01   1.850372e-17   1.683078e-03   1.753206e-04    0.06
   5  -1.295217e+01   9.251859e-18   8.994595e-04   9.369370e-05    0.06
   6  -1.295331e+01   9.251859e-18   4.748841e-04   4.946709e-05    0.06
   7  -1.300753e+01   9.251859e-18   2.799942e-05   2.916606e-06    0.06
   8  -1.300671e+01   9.251859e-18   2.366136e-05   2.464725e-06    0.06
   9  -1.300850e+01   9.251859e-18   8.222244e-06   8.564838e-07    0.06
  10  -1.300843e+01   1.850372e-17   7.318333e-06   7.623264e-07    0.06
  11  -1.300865e+01   9.251859e-18   2.636568e-06   2.746425e-07    0.07
  12  -1.300892e+01   1.850372e-17   3.407939e-08   3.549936e-09    0.07
Optimal solution found.

fval = -13.0089

exitflag = 1

output = struct with fields:
           iterations: 12
    primalfeasibility: 1.8504e-17
      dualfeasibility: 3.4079e-08
           dualitygap: 3.5499e-09
            algorithm: 'interior-point'
         linearsolver: 'augmented'
              message: 'Optimal solution found.'

迭代输出和输出结构体都表明 coneprog 使用了 12 次迭代才得出解。
退出标志值 1 和 output.message 值 'Optimal solution found.' 表明该解是可靠的。
output 结构体表明，不可行性在求解过程中越来越低，对偶间隙也越来越小。
您可以通过乘以 f'*x 来重现 fval 输出。

f'*x

ans = -13.0089

获取 `coneprog` 对偶变量

创建一个二阶锥规划问题。为了节省时间和内存，请先创建最高阶指数约束。

A = diag([1,2,0]);
b = zeros(3,1);
d = [0;0;1];
gamma = -1;
socConstraints(3) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([3,0,1]);
d = [0;1;0];
socConstraints(2) = secondordercone(A,b,d,gamma);
A = diag([0;1/2;1/2]);
d = [1;0;0];
socConstraints(1) = secondordercone(A,b,d,gamma);
f = [-1;-2;-4];

求解问题，请求在解处的对偶变量以及所有其他 coneprog 输出。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = coneprog(f,socConstraints);

Optimal solution found.

检查返回的 lambda 结构体。由于唯一的问题约束是锥约束，因此只检查 lambda 结构体中的 soc 字段。

disp(lambda.soc)

约束具有非零的对偶值，指示约束在解处为活动约束。

输入参数

`f` — 系数向量
实数向量 | 实数数组

系数向量，指定为实数向量或实数数组。系数向量表示目标函数 f'*x。该表示法假设 f 是列向量，但您也可以使用行向量或数组。coneprog 在内部将 f 转换为列向量 f(:)。

示例: f = [1,3,5,-6]

数据类型: double

`socConstraints` — 二阶锥约束
`SecondOrderConeConstraint` 对象的向量

二阶锥约束，指定为由 SecondOrderConeConstraint 对象组成的向量。使用 secondordercone 函数创建这些对象。

socConstraints 对约束进行编码

$‖ A_{sc} (i) \cdot x - b_{sc} (i) ‖ \leq d_{sc}^{T} (i) \cdot x - γ (i)$

其中，数组和方程之间的映射如下：

A_sc(i) = socConstraints.A(i)
b_sc(i) = socConstraints.b(i)
d_sc(i) = socConstraints.d(i)
γ(i) = socConstraints.gamma(i)

示例: Asc = diag([1 1/2 0]); bsc = zeros(3,1); dsc = [0;0;1]; gamma = -1; socConstraints = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

数据类型: struct

`A` — 线性不等式约束
实矩阵

线性不等式约束，指定为实矩阵。A 是 M×N 矩阵，其中 M 是不等式的数目，而 N 是变量的数目（f 的长度）。对于大型问题，将 A 作为稀疏矩阵传递。

A 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，b 是具有 M 个元素的列向量。

例如，假设有以下不等式：

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30。

通过输入以下约束来指定不等式。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 的各个分量加起来等于或小于 1，请指定 A = ones(1,N) 和 b = 1。

数据类型: double

`b` — 线性不等式约束
实数向量

线性不等式约束，指定为实数向量。b 是与 A 矩阵相关的包含 M 个元素的向量。如果将 b 作为行向量传递，求解器会在内部将 b 转换为列向量 b(:)。对于大型问题，将 b 作为稀疏向量传递。

b 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，A 是大小为 M×N 的矩阵。

例如，假设有以下不等式：

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30。

通过输入以下约束来指定不等式。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1，请使用 A = ones(1,N) 和 b = 1。

数据类型: double

`Aeq` — 线性等式约束
实矩阵

线性等式约束，指定为实矩阵。Aeq 是 Me×N 矩阵，其中 Me 是等式的数目，而 N 是变量的数目（f 的长度）。对于大型问题，将 Aeq 作为稀疏矩阵传递。

Aeq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，beq 是具有 Me 个元素的列向量。

例如，请参考以下等式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20。

通过输入以下约束来指定等式。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量之和为 1，请指定 Aeq = ones(1,N) 和 beq = 1。

数据类型: double

`beq` — 线性等式约束
实数向量

线性等式约束，指定为实数向量。beq 是与 Aeq 矩阵相关的包含 Me 个元素的向量。如果将 beq 作为行向量传递，求解器会在内部将 beq 转换为列向量 beq(:)。对于大型问题，将 beq 作为稀疏向量传递。

beq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，Aeq 是大小为 Me×N 的矩阵。

例如，请参考以下等式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20。

通过输入以下约束来指定等式。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1，请使用 Aeq = ones(1,N) 和 beq = 1。

数据类型: double

`lb` — 下界
实数向量 | 实数数组

下界，指定为实数向量或实数数组。如果 f 的长度等于 lb 的长度，则 lb 指定

x(i) >= lb(i)（对于全部 i）。

如果 numel(lb) < numel(f)，则 lb 指定

x(i) >= lb(i) (1 <= i <= numel(lb))。

在这种情况下，求解器会发出警告。

示例: 要指定所有 x 分量都为正，请指定 lb = zeros(size(f))。

数据类型: double

`ub` — 上界
实数向量 | 实数数组

上界，指定为实数向量或实数数组。如果 f 的长度等于 ub 的长度，则 ub 指定

x(i) <= ub(i)（对于全部 i）。

如果 numel(ub) < numel(f)，则 ub 指定

x(i) <= ub(i) (1 <= i <= numel(ub))。

在这种情况下，求解器会发出警告。

示例: 要指定所有 x 分量都小于 1，请使用 ub = ones(size(f))。

数据类型: double

`options` — 优化选项
`optimoptions` 的输出

优化选项，指定为 optimoptions 的输出。

选项	描述
`ConstraintTolerance`	约束的可行性容差，`0` 到 `1` 范围内的标量。`ConstraintTolerance` 测量原始可行性容差。默认值为 `1e-6`。
`Display`	显示级别（请参阅迭代输出）： `'final'`（默认值）仅显示最终输出。 `'iter'` 在每次迭代时显示输出。 `'off'` 或 `'none'` 不显示输出。
`LinearSolver`	迭代中求解单步的算法： `'auto'`（默认值）- `coneprog` 选择步长求解器。如果问题是稀疏的，步长求解器为 `'prodchol'`。否则，步长求解器为 `'augmented'`。 `'augmented'` - 增强形式步长求解器。请参阅[1]。 `'normal'` - 标准形式步长求解器。请参阅[1]。 `'prodchol'` - 产品形式乔列斯基步长求解器。请参阅[4]和[5]。 `'schur'` - Schur 补方法步长求解器。请参阅[2]。如果 `'auto'` 表现不佳，请对 `LinearSolver` 尝试以下建议：对于稀疏问题，请尝试 `'normal'`。对于有一些密集列或大型锥体的稀疏问题，请尝试 `'prodchol'` 或 `'schur'`。对于密集问题，请使用 `'augmented'`。有关稀疏示例，请参阅Compare Speeds of coneprog Algorithms。
`MaxIterations`	允许的迭代最大次数，为正整数。默认值为 `200`。请参阅容差和停止条件和迭代和函数计算次数。
`MaxTime`	算法运行的最长时间（以秒为单位），为一个正数或 `Inf`。默认值为 `Inf`，表示禁用此停止条件。
`OptimalityTolerance`	对偶可行性的终止容差，正标量。默认值为 `1e-6`。

示例: optimoptions('coneprog','Display','iter','MaxIterations',100)

`problem` — 问题结构体
结构体

问题结构体，指定为含有以下字段的结构体。

字段名称	条目
`f`	线性目标函数向量 `f`
`socConstraints`	二阶锥约束的结构体数组
`Aineq`	线性不等式约束矩阵
`bineq`	线性不等式约束向量
`Aeq`	线性等式约束矩阵
`beq`	线性等式约束向量
`lb`	由下界组成的向量
`ub`	由上界组成的向量
`solver`	`'coneprog'`
`options`	用 `optimoptions` 创建的选项

数据类型: struct

输出参数

`x` — 解
实数向量 | 实数数组

解，以实数向量或实数数组形式返回。x 的大小与 f 的大小相同。当 exitflag 值为 -2、-3 或 -10 时，x 输出为空。

`fval` — 解处的目标函数值
实数

解处的目标函数值，以实数形式返回。通常，fval = f'*x。当 exitflag 值为 -2、-3 或 -10 时，fval 输出为空。

`exitflag` — `coneprog` 停止的原因
整数

coneprog 停止的原因，以整数形式返回。

值	描述
`1`	函数收敛于解 `x`。
`0`	迭代次数超过了 `options.MaxIterations`，或以秒为单位的求解时间超过了 `options.MaxTime`。
`-2`	找不到可行点。
`-3`	此问题无界。
`-7`	搜索方向的模变得太小。无法取得进一步进展。
`-10`	此问题在数值上不稳定。

提示

如果出现退出标志 0、-7 或 -10，请尝试对 LinearSolver 选项使用不同值。

`output` — 有关优化过程的信息
结构体

有关优化过程的信息，以包含下列字段的结构体形式返回。

字段	描述
`algorithm`	使用的优化算法
`dualfeasibility`	对偶约束违反值的最大值
`dualitygap`	对偶间隙
`iterations`	迭代次数
`message`	退出消息
`primalfeasibility`	约束违反值的最大值
`linearsolver`	使用的内部步长求解器算法

当 exitflag 值为 -2、-3 或 -10 时，output 字段 dualfeasibility、dualitygap 和 primalfeasibility 为空。

`lambda` — 解处的对偶变量
结构体

解处的对偶变量，以包含下列字段的结构体形式返回。

字段	描述
`lower`	对应于 `lb` 的下界
`upper`	对应于 `ub` 的上界
`ineqlin`	对应于 `A` 和 `b` 的线性不等式
`eqlin`	对应于 `Aeq` 和 `beq` 的线性等式
`soc`	对应于 `socConstraints` 的二阶锥约束

当 exitflag 值为 -2、-3 或 -10 时，lambda 为空 ([])。

拉格朗日乘数（对偶变量）是以下拉格朗日的一部分，它在解处是固定的（零梯度）：

$\begin{array}{l} f^{T} x + \sum_{i} λ_{soc} (i) (‖ A_{soc} (i) x - b_{soc} (i) ‖ - d_{soc}^{T} (i) x + gamma (i)) \\ + λ_{ineqlin}^{T} (A x - b) + λ_{eqlin}^{T} (Aeq x - beq) + λ_{upper}^{T} (x - ub) + λ_{lower}^{T} (lb - x) . \end{array}$

乘以 lambda 字段的不等式项为非负值。

详细信息